Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7252 / 10846
↖ ↑ ↗
← S 50.261254°
W 20.654297°		 ← 1 561.96 m → S 50.261254°
W 20.632324°		 →
↑
1 561.66 m
↓
↑
1 561.66 m
↓
S 50.275298°
W 20.654297°		 ← 1 561.50 m →
2 438 888 m²		 S 50.275298°
W 20.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442657470703125 y=0.662017822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442657470703125 × 214)
    floor (0.442657470703125 × 16384)
    floor (7252.5)     		tx = 7252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662017822265625 × 214)
    floor (0.662017822265625 × 16384)
    floor (10846.5)     		ty = 10846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7252 / 10846 ti = "14/7252/10846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7252/10846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7252 ÷ 214
    7252 ÷ 16384     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10846 ÷ 214
    10846 ÷ 16384     		y = 0.6619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6619873046875 × 2 - 1) × π
    -0.323974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01779625273303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01779625273303))-π/2
    2×atan(0.36139047654556)-π/2
    2×0.346785980670769-π/2
    0.693571961341539-1.57079632675     		φ = -0.87722437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87722437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.261254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7252 KachelY 10846 -0.36048549 -0.87722437 -20.654297 -50.261254
    Oben rechts KachelX + 1 7253 KachelY 10846 -0.36010199 -0.87722437 -20.632324 -50.261254
    Unten links KachelX 7252 KachelY + 1 10847 -0.36048549 -0.87746949 -20.654297 -50.275298
    Unten rechts KachelX + 1 7253 KachelY + 1 10847 -0.36010199 -0.87746949 -20.632324 -50.275298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87722437--0.87746949) × R
    0.000245119999999988 × 6371000     		dl = 1561.65951999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87722437--0.87746949) × R
    0.000245119999999988 × 6371000     		dr = 1561.65951999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.36010199) × cos(-0.87722437) × R
    0.000383500000000037 × 0.639287973062668 × 6371000     		do = 1561.95855989274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.36010199) × cos(-0.87746949) × R
    0.000383500000000037 × 0.639099464566016 × 6371000     		du = 1561.49798113581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87722437)-sin(-0.87746949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639287973062668-0.639099464566016)×R²
    abs(-0.36010199--0.36048549)×0.000188508496652307×R²
    0.000383500000000037×0.000188508496652307×6371000²
    0.000383500000000037×0.000188508496652307×40589641000000     		ar = 2438887.83351356m²