Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7252 / 10844
↖ ↑ ↗
← S 50.233152°
W 20.654297°		 ← 1 562.88 m → S 50.233152°
W 20.632324°		 →
↑
1 562.68 m
↓
↑
1 562.68 m
↓
S 50.247205°
W 20.654297°		 ← 1 562.42 m →
2 441 919 m²		 S 50.247205°
W 20.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442657470703125 y=0.661895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442657470703125 × 214)
    floor (0.442657470703125 × 16384)
    floor (7252.5)     		tx = 7252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661895751953125 × 214)
    floor (0.661895751953125 × 16384)
    floor (10844.5)     		ty = 10844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7252 / 10844 ti = "14/7252/10844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7252/10844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7252 ÷ 214
    7252 ÷ 16384     		x = 0.442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10844 ÷ 214
    10844 ÷ 16384     		y = 0.661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36048549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.32373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.01702926233911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36048549} λ = -0.36048549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01702926233911))-π/2
    2×atan(0.361667765895065)-π/2
    2×0.347031216841314-π/2
    0.694062433682627-1.57079632675     		φ = -0.87673389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36048549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.654297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87673389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.233152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7252 KachelY 10844 -0.36048549 -0.87673389 -20.654297 -50.233152
    Oben rechts KachelX + 1 7253 KachelY 10844 -0.36010199 -0.87673389 -20.632324 -50.233152
    Unten links KachelX 7252 KachelY + 1 10845 -0.36048549 -0.87697917 -20.654297 -50.247205
    Unten rechts KachelX + 1 7253 KachelY + 1 10845 -0.36010199 -0.87697917 -20.632324 -50.247205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87673389--0.87697917) × R
    0.000245280000000014 × 6371000     		dl = 1562.67888000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87673389--0.87697917) × R
    0.000245280000000014 × 6371000     		dr = 1562.67888000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36048549--0.36010199) × cos(-0.87673389) × R
    0.000383500000000037 × 0.639665059288992 × 6371000     		do = 1562.87988656217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36048549--0.36010199) × cos(-0.87697917) × R
    0.000383500000000037 × 0.639476504653314 × 6371000     		du = 1562.41919507474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87673389)-sin(-0.87697917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639665059288992-0.639476504653314)×R²
    abs(-0.36010199--0.36048549)×0.000188554635677907×R²
    0.000383500000000037×0.000188554635677907×6371000²
    0.000383500000000037×0.000188554635677907×40589641000000     		ar = 2441919.44652057m²