Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72519 / 95719
↖ ↑ ↗
← S 63.517950°
E 19.179382°		 ← 136.19 m → S 63.517950°
E 19.182129°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
S 63.519175°
E 19.179382°		 ← 136.19 m →
18 551 m²		 S 63.519175°
E 19.182129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553279876708984 y=0.730281829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553279876708984 × 217)
    floor (0.553279876708984 × 131072)
    floor (72519.5)     		tx = 72519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730281829833984 × 217)
    floor (0.730281829833984 × 131072)
    floor (95719.5)     		ty = 95719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72519 / 95719 ti = "17/72519/95719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72519/95719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72519 ÷ 217
    72519 ÷ 131072     		x = 0.553276062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95719 ÷ 217
    95719 ÷ 131072     		y = 0.730278015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553276062011719 × 2 - 1) × π
    0.106552124023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.33474337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730278015136719 × 2 - 1) × π
    -0.460556030273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44687944123215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33474337} λ = 0.33474337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44687944123215))-π/2
    2×atan(0.235303421761401)-π/2
    2×0.231099483207265-π/2
    0.462198966414529-1.57079632675     		φ = -1.10859736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33474337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.179382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10859736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.517950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72519 KachelY 95719 0.33474337 -1.10859736 19.179382 -63.517950
    Oben rechts KachelX + 1 72520 KachelY 95719 0.33479131 -1.10859736 19.182129 -63.517950
    Unten links KachelX 72519 KachelY + 1 95720 0.33474337 -1.10861874 19.179382 -63.519175
    Unten rechts KachelX + 1 72520 KachelY + 1 95720 0.33479131 -1.10861874 19.182129 -63.519175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10859736--1.10861874) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dl = 136.211979999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10859736--1.10861874) × R
    2.13799999999598e-05 × 6371000     		dr = 136.211979999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33474337-0.33479131) × cos(-1.10859736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445917421721001 × 6371000     		do = 136.194658508097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33474337-0.33479131) × cos(-1.10861874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445898284934728 × 6371000     		du = 136.188813640988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10859736)-sin(-1.10861874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445917421721001-0.445898284934728)×R²
    abs(0.33479131-0.33474337)×1.91367862736325e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91367862736325e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91367862736325e-05×40589641000000     		ar = 18550.9460310588m²