Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72514 / 95694
↖ ↑ ↗
← S 63.487315°
E 19.165650°		 ← 136.31 m → S 63.487315°
E 19.168396°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
S 63.488541°
E 19.165650°		 ← 136.31 m →
18 576 m²		 S 63.488541°
E 19.168396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553241729736328 y=0.730091094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553241729736328 × 217)
    floor (0.553241729736328 × 131072)
    floor (72514.5)     		tx = 72514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730091094970703 × 217)
    floor (0.730091094970703 × 131072)
    floor (95694.5)     		ty = 95694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72514 / 95694 ti = "17/72514/95694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72514/95694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72514 ÷ 217
    72514 ÷ 131072     		x = 0.553237915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95694 ÷ 217
    95694 ÷ 131072     		y = 0.730087280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553237915039062 × 2 - 1) × π
    0.106475830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33450369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730087280273438 × 2 - 1) × π
    -0.460174560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44568101874165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33450369} λ = 0.33450369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44568101874165))-π/2
    2×atan(0.235585583714977)-π/2
    2×0.231366825288089-π/2
    0.462733650576178-1.57079632675     		φ = -1.10806268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33450369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.165650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10806268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.487315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72514 KachelY 95694 0.33450369 -1.10806268 19.165650 -63.487315
    Oben rechts KachelX + 1 72515 KachelY 95694 0.33455162 -1.10806268 19.168396 -63.487315
    Unten links KachelX 72514 KachelY + 1 95695 0.33450369 -1.10808407 19.165650 -63.488541
    Unten rechts KachelX + 1 72515 KachelY + 1 95695 0.33455162 -1.10808407 19.168396 -63.488541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10806268--1.10808407) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10806268--1.10808407) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33450369-0.33455162) × cos(-1.10806268) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.446395936180492 × 6371000     		do = 136.312369255751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33450369-0.33455162) × cos(-1.10808407) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.44637679554588 × 6371000     		du = 136.30652443271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10806268)-sin(-1.10808407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446395936180492-0.44637679554588)×R²
    abs(0.33455162-0.33450369)×1.91406346124467e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91406346124467e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91406346124467e-05×40589641000000     		ar = 18575.6639228918m²