Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72512 / 95693
↖ ↑ ↗
← S 63.486089°
E 19.160156°		 ← 136.35 m → S 63.486089°
E 19.162903°		 →
↑
136.34 m
↓
↑
136.34 m
↓
S 63.487315°
E 19.160156°		 ← 136.34 m →
18 589 m²		 S 63.487315°
E 19.162903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553226470947266 y=0.730083465576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553226470947266 × 217)
    floor (0.553226470947266 × 131072)
    floor (72512.5)     		tx = 72512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730083465576172 × 217)
    floor (0.730083465576172 × 131072)
    floor (95693.5)     		ty = 95693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72512 / 95693 ti = "17/72512/95693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72512/95693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72512 ÷ 217
    72512 ÷ 131072     		x = 0.55322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95693 ÷ 217
    95693 ÷ 131072     		y = 0.730079650878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55322265625 × 2 - 1) × π
    0.1064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33440781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730079650878906 × 2 - 1) × π
    -0.460159301757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.44563308184203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33440781} λ = 0.33440781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44563308184203))-π/2
    2×atan(0.235596877228141)-π/2
    2×0.231377524936243-π/2
    0.462755049872487-1.57079632675     		φ = -1.10804128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33440781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10804128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.486089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72512 KachelY 95693 0.33440781 -1.10804128 19.160156 -63.486089
    Oben rechts KachelX + 1 72513 KachelY 95693 0.33445575 -1.10804128 19.162903 -63.486089
    Unten links KachelX 72512 KachelY + 1 95694 0.33440781 -1.10806268 19.160156 -63.487315
    Unten rechts KachelX + 1 72513 KachelY + 1 95694 0.33445575 -1.10806268 19.162903 -63.487315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10804128--1.10806268) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dl = 136.339400000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10804128--1.10806268) × R
    2.14000000000603e-05 × 6371000     		dr = 136.339400000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33440781-0.33445575) × cos(-1.10804128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446415085559124 × 6371000     		do = 136.34665785397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33440781-0.33445575) × cos(-1.10806268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446395936180492 × 6371000     		du = 136.34080914083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10804128)-sin(-1.10806268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446415085559124-0.446395936180492)×R²
    abs(0.33445575-0.33440781)×1.91493786320107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91493786320107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91493786320107e-05×40589641000000     		ar = 18589.0228196331m²