Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72511 / 95687
↖ ↑ ↗
← S 63.478731°
E 19.157409°		 ← 136.38 m → S 63.478731°
E 19.160156°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
S 63.479958°
E 19.157409°		 ← 136.38 m →
18 602 m²		 S 63.479958°
E 19.160156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553218841552734 y=0.730037689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553218841552734 × 217)
    floor (0.553218841552734 × 131072)
    floor (72511.5)     		tx = 72511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730037689208984 × 217)
    floor (0.730037689208984 × 131072)
    floor (95687.5)     		ty = 95687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72511 / 95687 ti = "17/72511/95687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72511/95687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72511 ÷ 217
    72511 ÷ 131072     		x = 0.553215026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95687 ÷ 217
    95687 ÷ 131072     		y = 0.730033874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553215026855469 × 2 - 1) × π
    0.106430053710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.33435987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730033874511719 × 2 - 1) × π
    -0.460067749023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44534546044431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33435987} λ = 0.33435987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44534546044431))-π/2
    2×atan(0.235664649677204)-π/2
    2×0.231441732464126-π/2
    0.462883464928252-1.57079632675     		φ = -1.10791286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33435987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.157409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10791286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.478731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72511 KachelY 95687 0.33435987 -1.10791286 19.157409 -63.478731
    Oben rechts KachelX + 1 72512 KachelY 95687 0.33440781 -1.10791286 19.160156 -63.478731
    Unten links KachelX 72511 KachelY + 1 95688 0.33435987 -1.10793427 19.157409 -63.479958
    Unten rechts KachelX + 1 72512 KachelY + 1 95688 0.33440781 -1.10793427 19.160156 -63.479958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10791286--1.10793427) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10791286--1.10793427) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33435987-0.33440781) × cos(-1.10791286) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446529995432737 × 6371000     		do = 136.381754287309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33435987-0.33440781) × cos(-1.10793427) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.446510838333287 × 6371000     		du = 136.375903216033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10791286)-sin(-1.10793427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446529995432737-0.446510838333287)×R²
    abs(0.33440781-0.33435987)×1.91570994499957e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91570994499957e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91570994499957e-05×40589641000000     		ar = 18602.4963805738m²