Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7251 / 5201
↖ ↑ ↗
← N 76.636687°
W100.338135°		 ← 282.35 m → N 76.636687°
W100.327148°		 →
↑
282.36 m
↓
↑
282.36 m
↓
N 76.634147°
W100.338135°		 ← 282.40 m →
79 733 m²		 N 76.634147°
W100.327148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221298217773438 y=0.158737182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221298217773438 × 215)
    floor (0.221298217773438 × 32768)
    floor (7251.5)     		tx = 7251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158737182617188 × 215)
    floor (0.158737182617188 × 32768)
    floor (5201.5)     		ty = 5201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7251 / 5201 ti = "15/7251/5201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7251/5201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7251 ÷ 215
    7251 ÷ 32768     		x = 0.221282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5201 ÷ 215
    5201 ÷ 32768     		y = 0.158721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.55743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.75123082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158721923828125 × 2 - 1) × π
    0.68255615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14431339380435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75123082} λ = -1.75123082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14431339380435))-π/2
    2×atan(8.53617823187534)-π/2
    2×1.4541794181604-π/2
    2.90835883632079-1.57079632675     		φ = 1.33756251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75123082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.338135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33756251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.636687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7251 KachelY 5201 -1.75123082 1.33756251 -100.338135 76.636687
    Oben rechts KachelX + 1 7252 KachelY 5201 -1.75103907 1.33756251 -100.327148 76.636687
    Unten links KachelX 7251 KachelY + 1 5202 -1.75123082 1.33751819 -100.338135 76.634147
    Unten rechts KachelX + 1 7252 KachelY + 1 5202 -1.75103907 1.33751819 -100.327148 76.634147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33756251-1.33751819) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dl = 282.362719999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33756251-1.33751819) × R
    4.43199999999866e-05 × 6371000     		dr = 282.362719999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75123082--1.75103907) × cos(1.33756251) × R
    0.000191749999999935 × 0.231124984743561 × 6371000     		do = 282.35135301829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75123082--1.75103907) × cos(1.33751819) × R
    0.000191749999999935 × 0.231168104511231 × 6371000     		du = 282.404029818926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33756251)-sin(1.33751819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231124984743561-0.231168104511231)×R²
    abs(-1.75103907--1.75123082)×4.31197676694084e-05×R²
    0.000191749999999935×4.31197676694084e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.31197676694084e-05×40589641000000     		ar = 79732.9330290587m²