Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7251 / 10845
↖ ↑ ↗
← S 50.247205°
W 20.676270°		 ← 1 562.38 m → S 50.247205°
W 20.654297°		 →
↑
1 562.17 m
↓
↑
1 562.17 m
↓
S 50.261254°
W 20.676270°		 ← 1 561.92 m →
2 440 340 m²		 S 50.261254°
W 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442596435546875 y=0.661956787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442596435546875 × 214)
    floor (0.442596435546875 × 16384)
    floor (7251.5)     		tx = 7251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661956787109375 × 214)
    floor (0.661956787109375 × 16384)
    floor (10845.5)     		ty = 10845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7251 / 10845 ti = "14/7251/10845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7251/10845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7251 ÷ 214
    7251 ÷ 16384     		x = 0.44256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10845 ÷ 214
    10845 ÷ 16384     		y = 0.66192626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1148681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36086898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.3238525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01741275753607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36086898} λ = -0.36086898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01741275753607))-π/2
    2×atan(0.36152909463553)-π/2
    2×0.346908580679979-π/2
    0.693817161359958-1.57079632675     		φ = -0.87697917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36086898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87697917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.247205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7251 KachelY 10845 -0.36086898 -0.87697917 -20.676270 -50.247205
    Oben rechts KachelX + 1 7252 KachelY 10845 -0.36048549 -0.87697917 -20.654297 -50.247205
    Unten links KachelX 7251 KachelY + 1 10846 -0.36086898 -0.87722437 -20.676270 -50.261254
    Unten rechts KachelX + 1 7252 KachelY + 1 10846 -0.36048549 -0.87722437 -20.654297 -50.261254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87697917--0.87722437) × R
    0.000245199999999945 × 6371000     		dl = 1562.16919999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87697917--0.87722437) × R
    0.000245199999999945 × 6371000     		dr = 1562.16919999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36086898--0.36048549) × cos(-0.87697917) × R
    0.000383489999999986 × 0.639476504653314 × 6371000     		do = 1562.37845402642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36086898--0.36048549) × cos(-0.87722437) × R
    0.000383489999999986 × 0.639287973062668 × 6371000     		du = 1561.91783085578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87697917)-sin(-0.87722437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639476504653314-0.639287973062668)×R²
    abs(-0.36048549--0.36086898)×0.000188531590645691×R²
    0.000383489999999986×0.000188531590645691×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188531590645691×40589641000000     		ar = 2440339.7261845m²