Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7251 / 10802
↖ ↑ ↗
← S 49.639177°
W 20.676270°		 ← 1 582.22 m → S 49.639177°
W 20.654297°		 →
↑
1 581.98 m
↓
↑
1 581.98 m
↓
S 49.653404°
W 20.676270°		 ← 1 581.76 m →
2 502 685 m²		 S 49.653404°
W 20.654297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442596435546875 y=0.659332275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442596435546875 × 214)
    floor (0.442596435546875 × 16384)
    floor (7251.5)     		tx = 7251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659332275390625 × 214)
    floor (0.659332275390625 × 16384)
    floor (10802.5)     		ty = 10802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7251 / 10802 ti = "14/7251/10802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7251/10802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7251 ÷ 214
    7251 ÷ 16384     		x = 0.44256591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10802 ÷ 214
    10802 ÷ 16384     		y = 0.6593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1148681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36086898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36086898} λ = -0.36086898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00092246406677))-π/2
    2×atan(0.367540242079597)-π/2
    2×0.352214623376715-π/2
    0.70442924675343-1.57079632675     		φ = -0.86636708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36086898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86636708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.639177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7251 KachelY 10802 -0.36086898 -0.86636708 -20.676270 -49.639177
    Oben rechts KachelX + 1 7252 KachelY 10802 -0.36048549 -0.86636708 -20.654297 -49.639177
    Unten links KachelX 7251 KachelY + 1 10803 -0.36086898 -0.86661539 -20.676270 -49.653404
    Unten rechts KachelX + 1 7252 KachelY + 1 10803 -0.36048549 -0.86661539 -20.654297 -49.653404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86636708--0.86661539) × R
    0.000248310000000029 × 6371000     		dl = 1581.98301000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86636708--0.86661539) × R
    0.000248310000000029 × 6371000     		dr = 1581.98301000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36086898--0.36048549) × cos(-0.86636708) × R
    0.000383489999999986 × 0.647599031773501 × 6371000     		do = 1582.22353241864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36086898--0.36048549) × cos(-0.86661539) × R
    0.000383489999999986 × 0.647409804235281 × 6371000     		du = 1581.76120889859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86636708)-sin(-0.86661539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647599031773501-0.647409804235281)×R²
    abs(-0.36048549--0.36086898)×0.000189227538219927×R²
    0.000383489999999986×0.000189227538219927×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189227538219927×40589641000000     		ar = 2502685.06518965m²