Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7250 / 5198
↖ ↑ ↗
← N 76.644302°
W100.349121°		 ← 282.18 m → N 76.644302°
W100.338135°		 →
↑
282.24 m
↓
↑
282.24 m
↓
N 76.641764°
W100.349121°		 ← 282.23 m →
79 648 m²		 N 76.641764°
W100.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221267700195312 y=0.158645629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221267700195312 × 215)
    floor (0.221267700195312 × 32768)
    floor (7250.5)     		tx = 7250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158645629882812 × 215)
    floor (0.158645629882812 × 32768)
    floor (5198.5)     		ty = 5198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7250 / 5198 ti = "15/7250/5198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7250/5198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7250 ÷ 215
    7250 ÷ 32768     		x = 0.22125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5198 ÷ 215
    5198 ÷ 32768     		y = 0.15863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22125244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5574951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75142256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15863037109375 × 2 - 1) × π
    0.6827392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14488863659979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75142256} λ = -1.75142256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14488863659979))-π/2
    2×atan(8.5410900195036)-π/2
    2×1.4542458760526-π/2
    2.90849175210519-1.57079632675     		φ = 1.33769543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75142256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33769543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.644302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7250 KachelY 5198 -1.75142256 1.33769543 -100.349121 76.644302
    Oben rechts KachelX + 1 7251 KachelY 5198 -1.75123082 1.33769543 -100.338135 76.644302
    Unten links KachelX 7250 KachelY + 1 5199 -1.75142256 1.33765113 -100.349121 76.641764
    Unten rechts KachelX + 1 7251 KachelY + 1 5199 -1.75123082 1.33765113 -100.338135 76.641764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33769543-1.33765113) × R
    4.42999999998861e-05 × 6371000     		dl = 282.235299999274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33769543-1.33765113) × R
    4.42999999998861e-05 × 6371000     		dr = 282.235299999274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75142256--1.75123082) × cos(1.33769543) × R
    0.000191739999999996 × 0.230995661635143 × 6371000     		do = 282.1786500996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75142256--1.75123082) × cos(1.33765113) × R
    0.000191739999999996 × 0.231038763305228 × 6371000     		du = 282.23130204551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33769543)-sin(1.33765113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230995661635143-0.231038763305228)×R²
    abs(-1.75123082--1.75142256)×4.31016700851161e-05×R²
    0.000191739999999996×4.31016700851161e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.31016700851161e-05×40589641000000     		ar = 79648.2060963559m²