Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7250 / 10842
↖ ↑ ↗
← S 50.205033°
W 20.698242°		 ← 1 563.80 m → S 50.205033°
W 20.676270°		 →
↑
1 563.57 m
↓
↑
1 563.57 m
↓
S 50.219095°
W 20.698242°		 ← 1 563.34 m →
2 444 754 m²		 S 50.219095°
W 20.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442535400390625 y=0.661773681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442535400390625 × 214)
    floor (0.442535400390625 × 16384)
    floor (7250.5)     		tx = 7250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661773681640625 × 214)
    floor (0.661773681640625 × 16384)
    floor (10842.5)     		ty = 10842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7250 / 10842 ti = "14/7250/10842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7250/10842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7250 ÷ 214
    7250 ÷ 16384     		x = 0.4425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10842 ÷ 214
    10842 ÷ 16384     		y = 0.6617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01626227194519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36125248} λ = -0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01626227194519))-π/2
    2×atan(0.36194526800442)-π/2
    2×0.347276597633474-π/2
    0.694553195266948-1.57079632675     		φ = -0.87624313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87624313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.205033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7250 KachelY 10842 -0.36125248 -0.87624313 -20.698242 -50.205033
    Oben rechts KachelX + 1 7251 KachelY 10842 -0.36086898 -0.87624313 -20.676270 -50.205033
    Unten links KachelX 7250 KachelY + 1 10843 -0.36125248 -0.87648855 -20.698242 -50.219095
    Unten rechts KachelX + 1 7251 KachelY + 1 10843 -0.36086898 -0.87648855 -20.676270 -50.219095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87624313--0.87648855) × R
    0.000245420000000052 × 6371000     		dl = 1563.57082000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87624313--0.87648855) × R
    0.000245420000000052 × 6371000     		dr = 1563.57082000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36125248--0.36086898) × cos(-0.87624313) × R
    0.000383499999999981 × 0.640042206765847 × 6371000     		do = 1563.80136288347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36125248--0.36086898) × cos(-0.87648855) × R
    0.000383499999999981 × 0.639853621550772 × 6371000     		du = 1563.34059668206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87624313)-sin(-0.87648855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640042206765847-0.639853621550772)×R²
    abs(-0.36086898--0.36125248)×0.000188585215075476×R²
    0.000383499999999981×0.000188585215075476×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188585215075476×40589641000000     		ar = 2444753.97125857m²