Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7250 / 10683
↖ ↑ ↗
← S 47.916342°
W 20.698242°		 ← 1 637.52 m → S 47.916342°
W 20.676270°		 →
↑
1 637.28 m
↓
↑
1 637.28 m
↓
S 47.931066°
W 20.698242°		 ← 1 637.06 m →
2 680 706 m²		 S 47.931066°
W 20.676270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442535400390625 y=0.652069091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442535400390625 × 214)
    floor (0.442535400390625 × 16384)
    floor (7250.5)     		tx = 7250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652069091796875 × 214)
    floor (0.652069091796875 × 16384)
    floor (10683.5)     		ty = 10683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7250 / 10683 ti = "14/7250/10683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7250/10683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7250 ÷ 214
    7250 ÷ 16384     		x = 0.4425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10683 ÷ 214
    10683 ÷ 16384     		y = 0.65203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.3040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.955286535628479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36125248} λ = -0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955286535628479))-π/2
    2×atan(0.384701897958836)-π/2
    2×0.367249196350303-π/2
    0.734498392700607-1.57079632675     		φ = -0.83629793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83629793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.916342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7250 KachelY 10683 -0.36125248 -0.83629793 -20.698242 -47.916342
    Oben rechts KachelX + 1 7251 KachelY 10683 -0.36086898 -0.83629793 -20.676270 -47.916342
    Unten links KachelX 7250 KachelY + 1 10684 -0.36125248 -0.83655492 -20.698242 -47.931066
    Unten rechts KachelX + 1 7251 KachelY + 1 10684 -0.36086898 -0.83655492 -20.676270 -47.931066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83629793--0.83655492) × R
    0.000256990000000012 × 6371000     		dl = 1637.28329000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83629793--0.83655492) × R
    0.000256990000000012 × 6371000     		dr = 1637.28329000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36125248--0.36086898) × cos(-0.83629793) × R
    0.000383499999999981 × 0.670214966608158 × 6371000     		do = 1637.52181829185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36125248--0.36086898) × cos(-0.83655492) × R
    0.000383499999999981 × 0.670024214973752 × 6371000     		du = 1637.05575892467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83629793)-sin(-0.83655492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670214966608158-0.670024214973752)×R²
    abs(-0.36086898--0.36125248)×0.000190751634405628×R²
    0.000383499999999981×0.000190751634405628×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190751634405628×40589641000000     		ar = 2680705.58924715m²