Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7249 / 10682
↖ ↑ ↗
← S 47.901613°
W 20.720215°		 ← 1 637.95 m → S 47.901613°
W 20.698242°		 →
↑
1 637.73 m
↓
↑
1 637.73 m
↓
S 47.916342°
W 20.720215°		 ← 1 637.48 m →
2 682 129 m²		 S 47.916342°
W 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442474365234375 y=0.652008056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442474365234375 × 214)
    floor (0.442474365234375 × 16384)
    floor (7249.5)     		tx = 7249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652008056640625 × 214)
    floor (0.652008056640625 × 16384)
    floor (10682.5)     		ty = 10682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7249 / 10682 ti = "14/7249/10682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7249/10682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7249 ÷ 214
    7249 ÷ 16384     		x = 0.44244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10682 ÷ 214
    10682 ÷ 16384     		y = 0.6519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44244384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1151123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36163597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36163597} λ = -0.36163597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954903040431519))-π/2
    2×atan(0.384849457581359)-π/2
    2×0.36737772674875-π/2
    0.734755453497501-1.57079632675     		φ = -0.83604087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36163597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83604087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.901613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7249 KachelY 10682 -0.36163597 -0.83604087 -20.720215 -47.901613
    Oben rechts KachelX + 1 7250 KachelY 10682 -0.36125248 -0.83604087 -20.698242 -47.901613
    Unten links KachelX 7249 KachelY + 1 10683 -0.36163597 -0.83629793 -20.720215 -47.916342
    Unten rechts KachelX + 1 7250 KachelY + 1 10683 -0.36125248 -0.83629793 -20.698242 -47.916342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83604087--0.83629793) × R
    0.00025705999999992 × 6371000     		dl = 1637.72925999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83604087--0.83629793) × R
    0.00025705999999992 × 6371000     		dr = 1637.72925999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36163597--0.36125248) × cos(-0.83604087) × R
    0.000383489999999986 × 0.670405725918612 × 6371000     		do = 1637.94518486498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36163597--0.36125248) × cos(-0.83629793) × R
    0.000383489999999986 × 0.670214966608158 × 6371000     		du = 1637.47911889635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83604087)-sin(-0.83629793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670405725918612-0.670214966608158)×R²
    abs(-0.36125248--0.36163597)×0.000190759310454203×R²
    0.000383489999999986×0.000190759310454203×6371000²
    0.000383489999999986×0.000190759310454203×40589641000000     		ar = 2682129.1253605m²