Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72484 / 77096
↖ ↑ ↗
← S 30.240086°
E 19.083252°		 ← 263.86 m → S 30.240086°
E 19.085999°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
S 30.242459°
E 19.083252°		 ← 263.86 m →
69 629 m²		 S 30.242459°
E 19.085999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.553012847900391 y=0.588199615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.553012847900391 × 217)
    floor (0.553012847900391 × 131072)
    floor (72484.5)     		tx = 72484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588199615478516 × 217)
    floor (0.588199615478516 × 131072)
    floor (77096.5)     		ty = 77096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72484 / 77096 ti = "17/72484/77096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72484/77096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72484 ÷ 217
    72484 ÷ 131072     		x = 0.553009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77096 ÷ 217
    77096 ÷ 131072     		y = 0.58819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.553009033203125 × 2 - 1) × π
    0.10601806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33306558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1763916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.554150559607849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33306558} λ = 0.33306558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.554150559607849))-π/2
    2×atan(0.574560108532392)-π/2
    2×0.521503626860994-π/2
    1.04300725372199-1.57079632675     		φ = -0.52778907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33306558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.083252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52778907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.240086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72484 KachelY 77096 0.33306558 -0.52778907 19.083252 -30.240086
    Oben rechts KachelX + 1 72485 KachelY 77096 0.33311352 -0.52778907 19.085999 -30.240086
    Unten links KachelX 72484 KachelY + 1 77097 0.33306558 -0.52783049 19.083252 -30.242459
    Unten rechts KachelX + 1 72485 KachelY + 1 77097 0.33311352 -0.52783049 19.085999 -30.242459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52778907--0.52783049) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dl = 263.886820000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52778907--0.52783049) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dr = 263.886820000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33306558-0.33311352) × cos(-0.52778907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863922659643392 × 6371000     		do = 263.864217624178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33306558-0.33311352) × cos(-0.52783049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.86390179877548 × 6371000     		du = 263.857846178159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52778907)-sin(-0.52783049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863922659643392-0.86390179877548)×R²
    abs(0.33311352-0.33306558)×2.08608679115319e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08608679115319e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08608679115319e-05×40589641000000     		ar = 69629.4486403523m²