Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7248 / 5564
↖ ↑ ↗
← N 49.894634°
W 20.742188°		 ← 1 573.95 m → N 49.894634°
W 20.720215°		 →
↑
1 574.15 m
↓
↑
1 574.15 m
↓
N 49.880478°
W 20.742188°		 ← 1 574.41 m →
2 477 989 m²		 N 49.880478°
W 20.720215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442413330078125 y=0.339630126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442413330078125 × 214)
    floor (0.442413330078125 × 16384)
    floor (7248.5)     		tx = 7248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339630126953125 × 214)
    floor (0.339630126953125 × 16384)
    floor (5564.5)     		ty = 5564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7248 / 5564 ti = "14/7248/5564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7248/5564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7248 ÷ 214
    7248 ÷ 16384     		x = 0.4423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5564 ÷ 214
    5564 ÷ 16384     		y = 0.339599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4423828125 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36201947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339599609375 × 2 - 1) × π
    0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36201947} λ = -0.36201947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00782537761206))-π/2
    2×atan(2.73963685682764)-π/2
    2×1.22081098803036-π/2
    2.44162197606071-1.57079632675     		φ = 0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36201947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7248 KachelY 5564 -0.36201947 0.87082565 -20.742188 49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 7249 KachelY 5564 -0.36163597 0.87082565 -20.720215 49.894634
    Unten links KachelX 7248 KachelY + 1 5565 -0.36201947 0.87057857 -20.742188 49.880478
    Unten rechts KachelX + 1 7249 KachelY + 1 5565 -0.36163597 0.87057857 -20.720215 49.880478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87082565-0.87057857) × R
    0.000247079999999955 × 6371000     		dl = 1574.14667999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87082565-0.87057857) × R
    0.000247079999999955 × 6371000     		dr = 1574.14667999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36201947--0.36163597) × cos(0.87082565) × R
    0.000383500000000037 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 1573.9484269387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36201947--0.36163597) × cos(0.87057857) × R
    0.000383500000000037 × 0.644384221545915 × 6371000     		du = 1574.41011424252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87082565)-sin(0.87057857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.644384221545915)×R²
    abs(-0.36163597--0.36201947)×0.00018896220951603×R²
    0.000383500000000037×0.00018896220951603×6371000²
    0.000383500000000037×0.00018896220951603×40589641000000     		ar = 2477989.0851313m²