Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72473 / 96612
↖ ↑ ↗
← S 64.590899°
E 19.053039°		 ← 131.05 m → S 64.590899°
E 19.055786°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
S 64.592078°
E 19.053039°		 ← 131.05 m →
17 174 m²		 S 64.592078°
E 19.055786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552928924560547 y=0.737094879150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552928924560547 × 217)
    floor (0.552928924560547 × 131072)
    floor (72473.5)     		tx = 72473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737094879150391 × 217)
    floor (0.737094879150391 × 131072)
    floor (96612.5)     		ty = 96612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72473 / 96612 ti = "17/72473/96612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72473/96612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72473 ÷ 217
    72473 ÷ 131072     		x = 0.552925109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96612 ÷ 217
    96612 ÷ 131072     		y = 0.737091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552925109863281 × 2 - 1) × π
    0.105850219726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.33253827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737091064453125 × 2 - 1) × π
    -0.47418212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48968709259286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33253827} λ = 0.33253827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48968709259286))-π/2
    2×atan(0.22544318734711)-π/2
    2×0.221736234386745-π/2
    0.443472468773491-1.57079632675     		φ = -1.12732386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33253827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.053039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12732386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.590899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72473 KachelY 96612 0.33253827 -1.12732386 19.053039 -64.590899
    Oben rechts KachelX + 1 72474 KachelY 96612 0.33258621 -1.12732386 19.055786 -64.590899
    Unten links KachelX 72473 KachelY + 1 96613 0.33253827 -1.12734443 19.053039 -64.592078
    Unten rechts KachelX + 1 72474 KachelY + 1 96613 0.33258621 -1.12734443 19.055786 -64.592078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12732386--1.12734443) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12732386--1.12734443) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33253827-0.33258621) × cos(-1.12732386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429078610868423 × 6371000     		do = 131.051652242574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33253827-0.33258621) × cos(-1.12734443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429060030572356 × 6371000     		du = 131.045977341898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12732386)-sin(-1.12734443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429078610868423-0.429060030572356)×R²
    abs(0.33258621-0.33253827)×1.85802960673831e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85802960673831e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85802960673831e-05×40589641000000     		ar = 17174.1398209244m²