Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7247 / 10849
↖ ↑ ↗
← S 50.303376°
W 20.764160°		 ← 1 560.54 m → S 50.303376°
W 20.742188°		 →
↑
1 560.32 m
↓
↑
1 560.32 m
↓
S 50.317408°
W 20.764160°		 ← 1 560.08 m →
2 434 579 m²		 S 50.317408°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442352294921875 y=0.662200927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442352294921875 × 214)
    floor (0.442352294921875 × 16384)
    floor (7247.5)     		tx = 7247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662200927734375 × 214)
    floor (0.662200927734375 × 16384)
    floor (10849.5)     		ty = 10849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7247 / 10849 ti = "14/7247/10849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7247/10849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7247 ÷ 214
    7247 ÷ 16384     		x = 0.44232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10849 ÷ 214
    10849 ÷ 16384     		y = 0.66217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36240296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.3243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01894673832391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36240296} λ = -0.36240296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01894673832391))-π/2
    2×atan(0.360974941089224)-π/2
    2×0.346418397522969-π/2
    0.692836795045938-1.57079632675     		φ = -0.87795953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36240296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.764160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87795953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.303376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7247 KachelY 10849 -0.36240296 -0.87795953 -20.764160 -50.303376
    Oben rechts KachelX + 1 7248 KachelY 10849 -0.36201947 -0.87795953 -20.742188 -50.303376
    Unten links KachelX 7247 KachelY + 1 10850 -0.36240296 -0.87820444 -20.764160 -50.317408
    Unten rechts KachelX + 1 7248 KachelY + 1 10850 -0.36201947 -0.87820444 -20.742188 -50.317408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87795953--0.87820444) × R
    0.000244909999999932 × 6371000     		dl = 1560.32160999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87795953--0.87820444) × R
    0.000244909999999932 × 6371000     		dr = 1560.32160999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36240296--0.36201947) × cos(-0.87795953) × R
    0.000383489999999986 × 0.63872248627289 × 6371000     		do = 1560.53622516744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36240296--0.36201947) × cos(-0.87820444) × R
    0.000383489999999986 × 0.638534024257602 × 6371000     		du = 1560.07577198434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87795953)-sin(-0.87820444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63872248627289-0.638534024257602)×R²
    abs(-0.36201947--0.36240296)×0.000188462015287438×R²
    0.000383489999999986×0.000188462015287438×6371000²
    0.000383489999999986×0.000188462015287438×40589641000000     		ar = 2434579.17995849m²