Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7247 / 10199
↖ ↑ ↗
← S 40.296287°
W 20.764160°		 ← 1 863.46 m → S 40.296287°
W 20.742188°		 →
↑
1 863.26 m
↓
↑
1 863.26 m
↓
S 40.313043°
W 20.764160°		 ← 1 863 m →
3 471 694 m²		 S 40.313043°
W 20.742188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442352294921875 y=0.622528076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442352294921875 × 214)
    floor (0.442352294921875 × 16384)
    floor (7247.5)     		tx = 7247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622528076171875 × 214)
    floor (0.622528076171875 × 16384)
    floor (10199.5)     		ty = 10199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7247 / 10199 ti = "14/7247/10199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7247/10199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7247 ÷ 214
    7247 ÷ 16384     		x = 0.44232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10199 ÷ 214
    10199 ÷ 16384     		y = 0.62249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36240296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    -0.2449951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.769674860299622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36240296} λ = -0.36240296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.769674860299622))-π/2
    2×atan(0.463163636718087)-π/2
    2×0.433746725380491-π/2
    0.867493450760983-1.57079632675     		φ = -0.70330288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36240296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.764160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70330288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.296287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7247 KachelY 10199 -0.36240296 -0.70330288 -20.764160 -40.296287
    Oben rechts KachelX + 1 7248 KachelY 10199 -0.36201947 -0.70330288 -20.742188 -40.296287
    Unten links KachelX 7247 KachelY + 1 10200 -0.36240296 -0.70359534 -20.764160 -40.313043
    Unten rechts KachelX + 1 7248 KachelY + 1 10200 -0.36201947 -0.70359534 -20.742188 -40.313043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70330288--0.70359534) × R
    0.00029246000000005 × 6371000     		dl = 1863.26266000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70330288--0.70359534) × R
    0.00029246000000005 × 6371000     		dr = 1863.26266000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36240296--0.36201947) × cos(-0.70330288) × R
    0.000383489999999986 × 0.762710245604166 × 6371000     		do = 1863.46495254457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36240296--0.36201947) × cos(-0.70359534) × R
    0.000383489999999986 × 0.7625210673055 × 6371000     		du = 1863.00274932732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70330288)-sin(-0.70359534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762710245604166-0.7625210673055)×R²
    abs(-0.36201947--0.36240296)×0.000189178298666381×R²
    0.000383489999999986×0.000189178298666381×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189178298666381×40589641000000     		ar = 3471694.08604276m²