Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72460 / 78676
↖ ↑ ↗
← S 33.916013°
E 19.017334°		 ← 253.46 m → S 33.916013°
E 19.020081°		 →
↑
253.44 m
↓
↑
253.44 m
↓
S 33.918292°
E 19.017334°		 ← 253.45 m →
64 236 m²		 S 33.918292°
E 19.020081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552829742431641 y=0.600254058837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552829742431641 × 217)
    floor (0.552829742431641 × 131072)
    floor (72460.5)     		tx = 72460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600254058837891 × 217)
    floor (0.600254058837891 × 131072)
    floor (78676.5)     		ty = 78676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72460 / 78676 ti = "17/72460/78676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72460/78676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72460 ÷ 217
    72460 ÷ 131072     		x = 0.552825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78676 ÷ 217
    78676 ÷ 131072     		y = 0.600250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552825927734375 × 2 - 1) × π
    0.10565185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33191509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.20050048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.629890861007538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33191509} λ = 0.33191509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629890861007538))-π/2
    2×atan(0.532649930711504)-π/2
    2×0.489425114415702-π/2
    0.978850228831405-1.57079632675     		φ = -0.59194610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33191509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.017334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59194610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.916013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72460 KachelY 78676 0.33191509 -0.59194610 19.017334 -33.916013
    Oben rechts KachelX + 1 72461 KachelY 78676 0.33196303 -0.59194610 19.020081 -33.916013
    Unten links KachelX 72460 KachelY + 1 78677 0.33191509 -0.59198588 19.017334 -33.918292
    Unten rechts KachelX + 1 72461 KachelY + 1 78677 0.33196303 -0.59198588 19.020081 -33.918292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59194610--0.59198588) × R
    3.97799999999338e-05 × 6371000     		dl = 253.438379999578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59194610--0.59198588) × R
    3.97799999999338e-05 × 6371000     		dr = 253.438379999578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33191509-0.33196303) × cos(-0.59194610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829856372084429 × 6371000     		do = 253.459496537436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33191509-0.33196303) × cos(-0.59198588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.829834175100306 × 6371000     		du = 253.452717007134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59194610)-sin(-0.59198588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829856372084429-0.829834175100306)×R²
    abs(0.33196303-0.33191509)×2.21969841226466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21969841226466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21969841226466e-05×40589641000000     		ar = 64235.5051097938m²