Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72452 / 78660
↖ ↑ ↗
← S 33.879537°
E 18.995361°		 ← 253.52 m → S 33.879537°
E 18.998108°		 →
↑
253.57 m
↓
↑
253.57 m
↓
S 33.881817°
E 18.995361°		 ← 253.51 m →
64 282 m²		 S 33.881817°
E 18.998108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552768707275391 y=0.600131988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552768707275391 × 217)
    floor (0.552768707275391 × 131072)
    floor (72452.5)     		tx = 72452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600131988525391 × 217)
    floor (0.600131988525391 × 131072)
    floor (78660.5)     		ty = 78660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72452 / 78660 ti = "17/72452/78660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72452/78660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72452 ÷ 217
    72452 ÷ 131072     		x = 0.552764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78660 ÷ 217
    78660 ÷ 131072     		y = 0.600128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552764892578125 × 2 - 1) × π
    0.10552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33153160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.20025634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.629123870613617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33153160} λ = 0.33153160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629123870613617))-π/2
    2×atan(0.533058624803868)-π/2
    2×0.489743428435965-π/2
    0.97948685687193-1.57079632675     		φ = -0.59130947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33153160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.995361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59130947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.879537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72452 KachelY 78660 0.33153160 -0.59130947 18.995361 -33.879537
    Oben rechts KachelX + 1 72453 KachelY 78660 0.33157953 -0.59130947 18.998108 -33.879537
    Unten links KachelX 72452 KachelY + 1 78661 0.33153160 -0.59134927 18.995361 -33.881817
    Unten rechts KachelX + 1 72453 KachelY + 1 78661 0.33157953 -0.59134927 18.998108 -33.881817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59130947--0.59134927) × R
    3.98000000000343e-05 × 6371000     		dl = 253.565800000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59130947--0.59134927) × R
    3.98000000000343e-05 × 6371000     		dr = 253.565800000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33153160-0.33157953) × cos(-0.59130947) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.830211428827953 × 6371000     		do = 253.515047236259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33153160-0.33157953) × cos(-0.59134927) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.830189241714642 × 6371000     		du = 253.508272134299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59130947)-sin(-0.59134927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830211428827953-0.830189241714642)×R²
    abs(0.33157953-0.33153160)×2.2187113310479e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2187113310479e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2187113310479e-05×40589641000000     		ar = 64281.8868059732m²