Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7245 / 7189
↖ ↑ ↗
← N 70.535882°
W100.404053°		 ← 407.07 m → N 70.535882°
W100.393066°		 →
↑
407.11 m
↓
↑
407.11 m
↓
N 70.532221°
W100.404053°		 ← 407.14 m →
165 736 m²		 N 70.532221°
W100.393066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221115112304688 y=0.219406127929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221115112304688 × 215)
    floor (0.221115112304688 × 32768)
    floor (7245.5)     		tx = 7245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219406127929688 × 215)
    floor (0.219406127929688 × 32768)
    floor (7189.5)     		ty = 7189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7245 / 7189 ti = "15/7245/7189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7245/7189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7245 ÷ 215
    7245 ÷ 32768     		x = 0.221099853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7189 ÷ 215
    7189 ÷ 32768     		y = 0.219390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221099853515625 × 2 - 1) × π
    -0.55780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75238130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219390869140625 × 2 - 1) × π
    0.56121826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76311916802567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75238130} λ = -1.75238130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76311916802567))-π/2
    2×atan(5.83059566790531)-π/2
    2×1.40093986019459-π/2
    2.80187972038918-1.57079632675     		φ = 1.23108339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75238130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23108339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.535882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7245 KachelY 7189 -1.75238130 1.23108339 -100.404053 70.535882
    Oben rechts KachelX + 1 7246 KachelY 7189 -1.75218955 1.23108339 -100.393066 70.535882
    Unten links KachelX 7245 KachelY + 1 7190 -1.75238130 1.23101949 -100.404053 70.532221
    Unten rechts KachelX + 1 7246 KachelY + 1 7190 -1.75218955 1.23101949 -100.393066 70.532221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23108339-1.23101949) × R
    6.39000000000056e-05 × 6371000     		dl = 407.106900000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23108339-1.23101949) × R
    6.39000000000056e-05 × 6371000     		dr = 407.106900000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75238130--1.75218955) × cos(1.23108339) × R
    0.000191749999999935 × 0.333216448228069 × 6371000     		do = 407.070291900865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75238130--1.75218955) × cos(1.23101949) × R
    0.000191749999999935 × 0.333276695685644 × 6371000     		du = 407.14389255975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23108339)-sin(1.23101949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333216448228069-0.333276695685644)×R²
    abs(-1.75218955--1.75238130)×6.02474575743805e-05×R²
    0.000191749999999935×6.02474575743805e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.02474575743805e-05×40589641000000     		ar = 165736.10634264m²