Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72448 / 96512
↖ ↑ ↗
← S 64.472794°
E 18.984375°		 ← 131.62 m → S 64.472794°
E 18.987122°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
S 64.473978°
E 18.984375°		 ← 131.61 m →
17 324 m²		 S 64.473978°
E 18.987122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552738189697266 y=0.736331939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552738189697266 × 217)
    floor (0.552738189697266 × 131072)
    floor (72448.5)     		tx = 72448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736331939697266 × 217)
    floor (0.736331939697266 × 131072)
    floor (96512.5)     		ty = 96512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72448 / 96512 ti = "17/72448/96512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72448/96512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72448 ÷ 217
    72448 ÷ 131072     		x = 0.552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96512 ÷ 217
    96512 ÷ 131072     		y = 0.736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552734375 × 2 - 1) × π
    0.10546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33133985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736328125 × 2 - 1) × π
    -0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33133985} λ = 0.33133985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48489340263086))-π/2
    2×atan(0.226526486517008)-π/2
    2×0.222766898346654-π/2
    0.445533796693309-1.57079632675     		φ = -1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33133985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.984375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72448 KachelY 96512 0.33133985 -1.12526253 18.984375 -64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 72449 KachelY 96512 0.33138779 -1.12526253 18.987122 -64.472794
    Unten links KachelX 72448 KachelY + 1 96513 0.33133985 -1.12528319 18.984375 -64.473978
    Unten rechts KachelX + 1 72449 KachelY + 1 96513 0.33138779 -1.12528319 18.987122 -64.473978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12526253--1.12528319) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dl = 131.624859999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12526253--1.12528319) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dr = 131.624859999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33133985-0.33138779) × cos(-1.12526253) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 131.620055275481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33133985-0.33138779) × cos(-1.12528319) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430920986352668 × 6371000     		du = 131.61436113836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12526253)-sin(-1.12528319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.430920986352668)×R²
    abs(0.33138779-0.33133985)×1.86432784657353e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86432784657353e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86432784657353e-05×40589641000000     		ar = 17324.0966042302m²