Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72440 / 78776
↖ ↑ ↗
← S 34.143635°
E 18.962402°		 ← 252.78 m → S 34.143635°
E 18.965149°		 →
↑
252.74 m
↓
↑
252.74 m
↓
S 34.145908°
E 18.962402°		 ← 252.77 m →
63 886 m²		 S 34.145908°
E 18.965149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552677154541016 y=0.601016998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552677154541016 × 217)
    floor (0.552677154541016 × 131072)
    floor (72440.5)     		tx = 72440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601016998291016 × 217)
    floor (0.601016998291016 × 131072)
    floor (78776.5)     		ty = 78776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72440 / 78776 ti = "17/72440/78776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72440/78776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72440 ÷ 217
    72440 ÷ 131072     		x = 0.55267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78776 ÷ 217
    78776 ÷ 131072     		y = 0.60101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55267333984375 × 2 - 1) × π
    0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60101318359375 × 2 - 1) × π
    -0.2020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.634684550969543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33095635} λ = 0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634684550969543))-π/2
    2×atan(0.53010268232277)-π/2
    2×0.487438740298436-π/2
    0.974877480596873-1.57079632675     		φ = -0.59591885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59591885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.143635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72440 KachelY 78776 0.33095635 -0.59591885 18.962402 -34.143635
    Oben rechts KachelX + 1 72441 KachelY 78776 0.33100429 -0.59591885 18.965149 -34.143635
    Unten links KachelX 72440 KachelY + 1 78777 0.33095635 -0.59595852 18.962402 -34.145908
    Unten rechts KachelX + 1 72441 KachelY + 1 78777 0.33100429 -0.59595852 18.965149 -34.145908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59591885--0.59595852) × R
    3.96700000000472e-05 × 6371000     		dl = 252.737570000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59591885--0.59595852) × R
    3.96700000000472e-05 × 6371000     		dr = 252.737570000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33095635-0.33100429) × cos(-0.59591885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.827633125846203 × 6371000     		do = 252.780459909924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33095635-0.33100429) × cos(-0.59595852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.827610859635424 × 6371000     		du = 252.77365923602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59591885)-sin(-0.59595852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827633125846203-0.827610859635424)×R²
    abs(0.33100429-0.33095635)×2.2266210779609e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2266210779609e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2266210779609e-05×40589641000000     		ar = 63886.2597966134m²