Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72440 / 78775
↖ ↑ ↗
← S 34.141362°
E 18.962402°		 ← 252.79 m → S 34.141362°
E 18.965149°		 →
↑
252.80 m
↓
↑
252.80 m
↓
S 34.143635°
E 18.962402°		 ← 252.78 m →
63 904 m²		 S 34.143635°
E 18.965149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552677154541016 y=0.601009368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552677154541016 × 217)
    floor (0.552677154541016 × 131072)
    floor (72440.5)     		tx = 72440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601009368896484 × 217)
    floor (0.601009368896484 × 131072)
    floor (78775.5)     		ty = 78775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72440 / 78775 ti = "17/72440/78775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72440/78775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72440 ÷ 217
    72440 ÷ 131072     		x = 0.55267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78775 ÷ 217
    78775 ÷ 131072     		y = 0.601005554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55267333984375 × 2 - 1) × π
    0.1053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33095635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601005554199219 × 2 - 1) × π
    -0.202011108398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.634636614069923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33095635} λ = 0.33095635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.634636614069923))-π/2
    2×atan(0.530128094410924)-π/2
    2×0.487458577648386-π/2
    0.974917155296772-1.57079632675     		φ = -0.59587917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33095635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.962402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59587917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.141362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72440 KachelY 78775 0.33095635 -0.59587917 18.962402 -34.141362
    Oben rechts KachelX + 1 72441 KachelY 78775 0.33100429 -0.59587917 18.965149 -34.141362
    Unten links KachelX 72440 KachelY + 1 78776 0.33095635 -0.59591885 18.962402 -34.143635
    Unten rechts KachelX + 1 72441 KachelY + 1 78776 0.33100429 -0.59591885 18.965149 -34.143635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59587917--0.59591885) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dl = 252.801279999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59587917--0.59591885) × R
    3.96799999999864e-05 × 6371000     		dr = 252.801279999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33095635-0.33100429) × cos(-0.59587917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.827655396366896 × 6371000     		do = 252.787261900187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33095635-0.33100429) × cos(-0.59591885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.827633125846203 × 6371000     		du = 252.780459909924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59587917)-sin(-0.59591885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.827655396366896-0.827633125846203)×R²
    abs(0.33100429-0.33095635)×2.2270520692147e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2270520692147e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2270520692147e-05×40589641000000     		ar = 63904.0836085227m²