Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72439 / 96455
↖ ↑ ↗
← S 64.405245°
E 18.959656°		 ← 131.92 m → S 64.405245°
E 18.962402°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
S 64.406432°
E 18.959656°		 ← 131.91 m →
17 405 m²		 S 64.406432°
E 18.962402°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552669525146484 y=0.735897064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552669525146484 × 217)
    floor (0.552669525146484 × 131072)
    floor (72439.5)     		tx = 72439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735897064208984 × 217)
    floor (0.735897064208984 × 131072)
    floor (96455.5)     		ty = 96455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72439 / 96455 ti = "17/72439/96455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72439/96455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72439 ÷ 217
    72439 ÷ 131072     		x = 0.552665710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96455 ÷ 217
    96455 ÷ 131072     		y = 0.735893249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552665710449219 × 2 - 1) × π
    0.105331420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.33090842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735893249511719 × 2 - 1) × π
    -0.471786499023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.48216099935252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33090842} λ = 0.33090842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48216099935252))-π/2
    2×atan(0.227146294628631)-π/2
    2×0.223356375066954-π/2
    0.446712750133907-1.57079632675     		φ = -1.12408358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33090842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.959656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12408358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.405245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72439 KachelY 96455 0.33090842 -1.12408358 18.959656 -64.405245
    Oben rechts KachelX + 1 72440 KachelY 96455 0.33095635 -1.12408358 18.962402 -64.405245
    Unten links KachelX 72439 KachelY + 1 96456 0.33090842 -1.12410429 18.959656 -64.406432
    Unten rechts KachelX + 1 72440 KachelY + 1 96456 0.33095635 -1.12410429 18.962402 -64.406432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12408358--1.12410429) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dl = 131.943410000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12408358--1.12410429) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dr = 131.943410000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33090842-0.33095635) × cos(-1.12408358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.432003191694985 × 6371000     		do = 131.917371582541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33090842-0.33095635) × cos(-1.12410429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431984513831638 × 6371000     		du = 131.911668072273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12408358)-sin(-1.12410429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432003191694985-0.431984513831638)×R²
    abs(0.33095635-0.33090842)×1.86778633469165e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86778633469165e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86778633469165e-05×40589641000000     		ar = 17405.2515751026m²