Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72435 / 78669
↖ ↑ ↗
← S 33.900057°
E 18.948669°		 ← 253.51 m → S 33.900057°
E 18.951416°		 →
↑
253.44 m
↓
↑
253.44 m
↓
S 33.902336°
E 18.948669°		 ← 253.50 m →
64 248 m²		 S 33.902336°
E 18.951416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552639007568359 y=0.600200653076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552639007568359 × 217)
    floor (0.552639007568359 × 131072)
    floor (72435.5)     		tx = 72435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600200653076172 × 217)
    floor (0.600200653076172 × 131072)
    floor (78669.5)     		ty = 78669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72435 / 78669 ti = "17/72435/78669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72435/78669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72435 ÷ 217
    72435 ÷ 131072     		x = 0.552635192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78669 ÷ 217
    78669 ÷ 131072     		y = 0.600196838378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552635192871094 × 2 - 1) × π
    0.105270385742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.33071667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600196838378906 × 2 - 1) × π
    -0.200393676757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.629555302710197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33071667} λ = 0.33071667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629555302710197))-π/2
    2×atan(0.53282869580671)-π/2
    2×0.48956436004506-π/2
    0.979128720090119-1.57079632675     		φ = -0.59166761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33071667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.948669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59166761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.900057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72435 KachelY 78669 0.33071667 -0.59166761 18.948669 -33.900057
    Oben rechts KachelX + 1 72436 KachelY 78669 0.33076461 -0.59166761 18.951416 -33.900057
    Unten links KachelX 72435 KachelY + 1 78670 0.33071667 -0.59170739 18.948669 -33.902336
    Unten rechts KachelX + 1 72436 KachelY + 1 78670 0.33076461 -0.59170739 18.951416 -33.902336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59166761--0.59170739) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dl = 253.438380000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59166761--0.59170739) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dr = 253.438380000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33071667-0.33076461) × cos(-0.59166761) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830011730933962 × 6371000     		do = 253.506947129314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33071667-0.33076461) × cos(-0.59170739) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.829989543144002 × 6371000     		du = 253.500170407146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59166761)-sin(-0.59170739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830011730933962-0.829989543144002)×R²
    abs(0.33076461-0.33071667)×2.21877899604372e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21877899604372e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21877899604372e-05×40589641000000     		ar = 64247.5312669622m²