Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72434 / 96438
↖ ↑ ↗
← S 64.385067°
E 18.945923°		 ← 132.04 m → S 64.385067°
E 18.948669°		 →
↑
132.01 m
↓
↑
132.01 m
↓
S 64.386254°
E 18.945923°		 ← 132.04 m →
17 430 m²		 S 64.386254°
E 18.948669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552631378173828 y=0.735767364501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552631378173828 × 217)
    floor (0.552631378173828 × 131072)
    floor (72434.5)     		tx = 72434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735767364501953 × 217)
    floor (0.735767364501953 × 131072)
    floor (96438.5)     		ty = 96438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72434 / 96438 ti = "17/72434/96438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72434/96438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72434 ÷ 217
    72434 ÷ 131072     		x = 0.552627563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96438 ÷ 217
    96438 ÷ 131072     		y = 0.735763549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552627563476562 × 2 - 1) × π
    0.105255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33066873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735763549804688 × 2 - 1) × π
    -0.471527099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48134607205898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33066873} λ = 0.33066873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48134607205898))-π/2
    2×atan(0.227331477788908)-π/2
    2×0.223532465362197-π/2
    0.447064930724395-1.57079632675     		φ = -1.12373140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33066873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.945923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12373140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.385067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72434 KachelY 96438 0.33066873 -1.12373140 18.945923 -64.385067
    Oben rechts KachelX + 1 72435 KachelY 96438 0.33071667 -1.12373140 18.948669 -64.385067
    Unten links KachelX 72434 KachelY + 1 96439 0.33066873 -1.12375212 18.945923 -64.386254
    Unten rechts KachelX + 1 72435 KachelY + 1 96439 0.33071667 -1.12375212 18.948669 -64.386254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12373140--1.12375212) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dl = 132.007119999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12373140--1.12375212) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dr = 132.007119999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33066873-0.33071667) × cos(-1.12373140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43232078620548 × 6371000     		do = 132.041896044104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33066873-0.33071667) × cos(-1.12375212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432302102476814 × 6371000     		du = 132.03618955245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12373140)-sin(-1.12375212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43232078620548-0.432302102476814)×R²
    abs(0.33071667-0.33066873)×1.86837286659247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86837286659247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86837286659247e-05×40589641000000     		ar = 17430.0937678764m²