Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72434 / 96425
↖ ↑ ↗
← S 64.369626°
E 18.945923°		 ← 132.12 m → S 64.369626°
E 18.948669°		 →
↑
132.07 m
↓
↑
132.07 m
↓
S 64.370814°
E 18.945923°		 ← 132.11 m →
17 448 m²		 S 64.370814°
E 18.948669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552631378173828 y=0.735668182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552631378173828 × 217)
    floor (0.552631378173828 × 131072)
    floor (72434.5)     		tx = 72434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735668182373047 × 217)
    floor (0.735668182373047 × 131072)
    floor (96425.5)     		ty = 96425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72434 / 96425 ti = "17/72434/96425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72434/96425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72434 ÷ 217
    72434 ÷ 131072     		x = 0.552627563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96425 ÷ 217
    96425 ÷ 131072     		y = 0.735664367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552627563476562 × 2 - 1) × π
    0.105255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.33066873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735664367675781 × 2 - 1) × π
    -0.471328735351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.48072289236391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33066873} λ = 0.33066873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48072289236391))-π/2
    2×atan(0.227473190301508)-π/2
    2×0.223667209984743-π/2
    0.447334419969486-1.57079632675     		φ = -1.12346191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33066873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.945923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12346191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.369626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72434 KachelY 96425 0.33066873 -1.12346191 18.945923 -64.369626
    Oben rechts KachelX + 1 72435 KachelY 96425 0.33071667 -1.12346191 18.948669 -64.369626
    Unten links KachelX 72434 KachelY + 1 96426 0.33066873 -1.12348264 18.945923 -64.370814
    Unten rechts KachelX + 1 72435 KachelY + 1 96426 0.33071667 -1.12348264 18.948669 -64.370814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12346191--1.12348264) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dl = 132.070829999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12346191--1.12348264) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dr = 132.070829999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33066873-0.33071667) × cos(-1.12346191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432563774993758 × 6371000     		do = 132.116111074575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33066873-0.33071667) × cos(-1.12348264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.432545084663603 × 6371000     		du = 132.110402566657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12346191)-sin(-1.12348264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432563774993758-0.432545084663603)×R²
    abs(0.33071667-0.33066873)×1.86903301556685e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86903301556685e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86903301556685e-05×40589641000000     		ar = 17448.3074830608m²