Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72431 / 96439
↖ ↑ ↗
← S 64.386254°
E 18.937683°		 ← 132.04 m → S 64.386254°
E 18.940430°		 →
↑
132.01 m
↓
↑
132.01 m
↓
S 64.387441°
E 18.937683°		 ← 132.03 m →
17 429 m²		 S 64.387441°
E 18.940430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552608489990234 y=0.735774993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552608489990234 × 217)
    floor (0.552608489990234 × 131072)
    floor (72431.5)     		tx = 72431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735774993896484 × 217)
    floor (0.735774993896484 × 131072)
    floor (96439.5)     		ty = 96439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72431 / 96439 ti = "17/72431/96439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72431/96439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72431 ÷ 217
    72431 ÷ 131072     		x = 0.552604675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96439 ÷ 217
    96439 ÷ 131072     		y = 0.735771179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552604675292969 × 2 - 1) × π
    0.105209350585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.33052492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735771179199219 × 2 - 1) × π
    -0.471542358398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.4813940089586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33052492} λ = 0.33052492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4813940089586))-π/2
    2×atan(0.22732058048387)-π/2
    2×0.223522103526997-π/2
    0.447044207053995-1.57079632675     		φ = -1.12375212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33052492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.937683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12375212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.386254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72431 KachelY 96439 0.33052492 -1.12375212 18.937683 -64.386254
    Oben rechts KachelX + 1 72432 KachelY 96439 0.33057286 -1.12375212 18.940430 -64.386254
    Unten links KachelX 72431 KachelY + 1 96440 0.33052492 -1.12377284 18.937683 -64.387441
    Unten rechts KachelX + 1 72432 KachelY + 1 96440 0.33057286 -1.12377284 18.940430 -64.387441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12375212--1.12377284) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dl = 132.007119999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12375212--1.12377284) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dr = 132.007119999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33052492-0.33057286) × cos(-1.12375212) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432302102476814 × 6371000     		do = 132.036189552603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33052492-0.33057286) × cos(-1.12377284) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432283418562553 × 6371000     		du = 132.030483004264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12375212)-sin(-1.12377284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432302102476814-0.432283418562553)×R²
    abs(0.33057286-0.33052492)×1.86839142611861e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86839142611861e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86839142611861e-05×40589641000000     		ar = 17429.3404668567m²