Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72430 / 78673
↖ ↑ ↗
← S 33.909175°
E 18.934937°		 ← 253.43 m → S 33.909175°
E 18.937683°		 →
↑
253.44 m
↓
↑
253.44 m
↓
S 33.911454°
E 18.934937°		 ← 253.42 m →
64 227 m²		 S 33.911454°
E 18.937683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552600860595703 y=0.600231170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552600860595703 × 217)
    floor (0.552600860595703 × 131072)
    floor (72430.5)     		tx = 72430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600231170654297 × 217)
    floor (0.600231170654297 × 131072)
    floor (78673.5)     		ty = 78673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72430 / 78673 ti = "17/72430/78673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72430/78673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72430 ÷ 217
    72430 ÷ 131072     		x = 0.552597045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78673 ÷ 217
    78673 ÷ 131072     		y = 0.600227355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552597045898438 × 2 - 1) × π
    0.105194091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33047699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600227355957031 × 2 - 1) × π
    -0.200454711914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.629747050308678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33047699} λ = 0.33047699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629747050308678))-π/2
    2×atan(0.532726536978555)-π/2
    2×0.489484787922215-π/2
    0.978969575844429-1.57079632675     		φ = -0.59182675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33047699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.934937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59182675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.909175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72430 KachelY 78673 0.33047699 -0.59182675 18.934937 -33.909175
    Oben rechts KachelX + 1 72431 KachelY 78673 0.33052492 -0.59182675 18.937683 -33.909175
    Unten links KachelX 72430 KachelY + 1 78674 0.33047699 -0.59186653 18.934937 -33.911454
    Unten rechts KachelX + 1 72431 KachelY + 1 78674 0.33052492 -0.59186653 18.937683 -33.911454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59182675--0.59186653) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dl = 253.438380000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59182675--0.59186653) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dr = 253.438380000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33047699-0.33052492) × cos(-0.59182675) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829922960736207 × 6371000     		do = 253.42696003388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33047699-0.33052492) × cos(-0.59186653) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829900767692135 × 6371000     		du = 253.42018312089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59182675)-sin(-0.59186653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829922960736207-0.829900767692135)×R²
    abs(0.33052492-0.33047699)×2.21930440724716e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21930440724716e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21930440724716e-05×40589641000000     		ar = 64227.259442906m²