Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7243 / 10787
↖ ↑ ↗
← S 49.425267°
W 20.852051°		 ← 1 589.16 m → S 49.425267°
W 20.830078°		 →
↑
1 588.93 m
↓
↑
1 588.93 m
↓
S 49.439557°
W 20.852051°		 ← 1 588.70 m →
2 524 697 m²		 S 49.439557°
W 20.830078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.442108154296875 y=0.658416748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.442108154296875 × 214)
    floor (0.442108154296875 × 16384)
    floor (7243.5)     		tx = 7243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658416748046875 × 214)
    floor (0.658416748046875 × 16384)
    floor (10787.5)     		ty = 10787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7243 / 10787 ti = "14/7243/10787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7243/10787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7243 ÷ 214
    7243 ÷ 16384     		x = 0.44207763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10787 ÷ 214
    10787 ÷ 16384     		y = 0.65838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1158447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36393694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.3167724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.995170036112366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36393694} λ = -0.36393694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995170036112366))-π/2
    2×atan(0.369660583551369)-π/2
    2×0.35408134058948-π/2
    0.708162681178959-1.57079632675     		φ = -0.86263365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36393694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.852051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86263365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.425267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7243 KachelY 10787 -0.36393694 -0.86263365 -20.852051 -49.425267
    Oben rechts KachelX + 1 7244 KachelY 10787 -0.36355345 -0.86263365 -20.830078 -49.425267
    Unten links KachelX 7243 KachelY + 1 10788 -0.36393694 -0.86288305 -20.852051 -49.439557
    Unten rechts KachelX + 1 7244 KachelY + 1 10788 -0.36355345 -0.86288305 -20.830078 -49.439557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86263365--0.86288305) × R
    0.000249399999999955 × 6371000     		dl = 1588.92739999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86263365--0.86288305) × R
    0.000249399999999955 × 6371000     		dr = 1588.92739999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36393694--0.36355345) × cos(-0.86263365) × R
    0.000383489999999986 × 0.650439315717097 × 6371000     		do = 1589.16295615743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36393694--0.36355345) × cos(-0.86288305) × R
    0.000383489999999986 × 0.650249861669064 × 6371000     		du = 1588.70007922525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86263365)-sin(-0.86288305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650439315717097-0.650249861669064)×R²
    abs(-0.36355345--0.36393694)×0.000189454048033055×R²
    0.000383489999999986×0.000189454048033055×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189454048033055×40589641000000     		ar = 2524696.83826967m²