Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72429 / 75847
↖ ↑ ↗
← S 27.232652°
E 18.932190°		 ← 271.57 m → S 27.232652°
E 18.934937°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
S 27.235094°
E 18.932190°		 ← 271.57 m →
73 739 m²		 S 27.235094°
E 18.934937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552593231201172 y=0.578670501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552593231201172 × 217)
    floor (0.552593231201172 × 131072)
    floor (72429.5)     		tx = 72429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578670501708984 × 217)
    floor (0.578670501708984 × 131072)
    floor (75847.5)     		ty = 75847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72429 / 75847 ti = "17/72429/75847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72429/75847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72429 ÷ 217
    72429 ÷ 131072     		x = 0.552589416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75847 ÷ 217
    75847 ÷ 131072     		y = 0.578666687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552589416503906 × 2 - 1) × π
    0.105178833007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.33042905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578666687011719 × 2 - 1) × π
    -0.157333374023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.494277371982399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33042905} λ = 0.33042905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.494277371982399))-π/2
    2×atan(0.610011559507277)-π/2
    2×0.547748438355413-π/2
    1.09549687671083-1.57079632675     		φ = -0.47529945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33042905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.932190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47529945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.232652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72429 KachelY 75847 0.33042905 -0.47529945 18.932190 -27.232652
    Oben rechts KachelX + 1 72430 KachelY 75847 0.33047699 -0.47529945 18.934937 -27.232652
    Unten links KachelX 72429 KachelY + 1 75848 0.33042905 -0.47534207 18.932190 -27.235094
    Unten rechts KachelX + 1 72430 KachelY + 1 75848 0.33047699 -0.47534207 18.934937 -27.235094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47529945--0.47534207) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dl = 271.532019999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47529945--0.47534207) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dr = 271.532019999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33042905-0.33047699) × cos(-0.47529945) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889155731755634 × 6371000     		do = 271.571047346842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33042905-0.33047699) × cos(-0.47534207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.889136227834684 × 6371000     		du = 271.565090347353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47529945)-sin(-0.47534207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889155731755634-0.889136227834684)×R²
    abs(0.33047699-0.33042905)×1.95039209494041e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95039209494041e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95039209494041e-05×40589641000000     		ar = 73739.4263127029m²