Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72428 / 96474
↖ ↑ ↗
← S 64.427779°
E 18.929443°		 ← 131.84 m → S 64.427779°
E 18.932190°		 →
↑
131.88 m
↓
↑
131.88 m
↓
S 64.428965°
E 18.929443°		 ← 131.83 m →
17 386 m²		 S 64.428965°
E 18.932190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552585601806641 y=0.736042022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552585601806641 × 217)
    floor (0.552585601806641 × 131072)
    floor (72428.5)     		tx = 72428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736042022705078 × 217)
    floor (0.736042022705078 × 131072)
    floor (96474.5)     		ty = 96474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72428 / 96474 ti = "17/72428/96474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72428/96474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72428 ÷ 217
    72428 ÷ 131072     		x = 0.552581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96474 ÷ 217
    96474 ÷ 131072     		y = 0.736038208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552581787109375 × 2 - 1) × π
    0.10516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.33038111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736038208007812 × 2 - 1) × π
    -0.472076416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4830718004453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33038111} λ = 0.33038111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4830718004453))-π/2
    2×atan(0.226939503722249)-π/2
    2×0.223159721360414-π/2
    0.446319442720827-1.57079632675     		φ = -1.12447688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33038111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.929443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12447688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.427779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72428 KachelY 96474 0.33038111 -1.12447688 18.929443 -64.427779
    Oben rechts KachelX + 1 72429 KachelY 96474 0.33042905 -1.12447688 18.932190 -64.427779
    Unten links KachelX 72428 KachelY + 1 96475 0.33038111 -1.12449758 18.929443 -64.428965
    Unten rechts KachelX + 1 72429 KachelY + 1 96475 0.33042905 -1.12449758 18.932190 -64.428965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12447688--1.12449758) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dl = 131.879700000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12447688--1.12449758) × R
    2.07000000000956e-05 × 6371000     		dr = 131.879700000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33038111-0.33042905) × cos(-1.12447688) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.431648452004261 × 6371000     		do = 131.836547873322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33038111-0.33042905) × cos(-1.12449758) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.431629779644172 × 6371000     		du = 131.830844853924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12447688)-sin(-1.12449758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431648452004261-0.431629779644172)×R²
    abs(0.33042905-0.33038111)×1.86723600886785e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86723600886785e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86723600886785e-05×40589641000000     		ar = 17386.1883269658m²