Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72424 / 96476
↖ ↑ ↗
← S 64.430151°
E 18.918457°		 ← 131.83 m → S 64.430151°
E 18.921204°		 →
↑
131.82 m
↓
↑
131.82 m
↓
S 64.431336°
E 18.918457°		 ← 131.82 m →
17 376 m²		 S 64.431336°
E 18.921204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552555084228516 y=0.736057281494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552555084228516 × 217)
    floor (0.552555084228516 × 131072)
    floor (72424.5)     		tx = 72424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736057281494141 × 217)
    floor (0.736057281494141 × 131072)
    floor (96476.5)     		ty = 96476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72424 / 96476 ti = "17/72424/96476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72424/96476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72424 ÷ 217
    72424 ÷ 131072     		x = 0.55255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96476 ÷ 217
    96476 ÷ 131072     		y = 0.736053466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55255126953125 × 2 - 1) × π
    0.1051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33018936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736053466796875 × 2 - 1) × π
    -0.47210693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48316767424454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33018936} λ = 0.33018936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48316767424454))-π/2
    2×atan(0.226917747212786)-π/2
    2×0.223139030366795-π/2
    0.44627806073359-1.57079632675     		φ = -1.12451827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33018936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.918457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12451827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.430151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72424 KachelY 96476 0.33018936 -1.12451827 18.918457 -64.430151
    Oben rechts KachelX + 1 72425 KachelY 96476 0.33023730 -1.12451827 18.921204 -64.430151
    Unten links KachelX 72424 KachelY + 1 96477 0.33018936 -1.12453896 18.918457 -64.431336
    Unten rechts KachelX + 1 72425 KachelY + 1 96477 0.33023730 -1.12453896 18.921204 -64.431336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12451827--1.12453896) × R
    2.06899999999344e-05 × 6371000     		dl = 131.815989999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12451827--1.12453896) × R
    2.06899999999344e-05 × 6371000     		dr = 131.815989999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33018936-0.33023730) × cos(-1.12451827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.431611116119732 × 6371000     		do = 131.825144533161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33018936-0.33023730) × cos(-1.12453896) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.43159245241053 × 6371000     		du = 131.819444155967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12451827)-sin(-1.12453896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431611116119732-0.43159245241053)×R²
    abs(0.33023730-0.33018936)×1.86637092022268e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86637092022268e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86637092022268e-05×40589641000000     		ar = 17376.2862338424m²