Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72424 / 96440
↖ ↑ ↗
← S 64.387441°
E 18.918457°		 ← 132.03 m → S 64.387441°
E 18.921204°		 →
↑
132.01 m
↓
↑
132.01 m
↓
S 64.388628°
E 18.918457°		 ← 132.02 m →
17 429 m²		 S 64.388628°
E 18.921204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552555084228516 y=0.735782623291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552555084228516 × 217)
    floor (0.552555084228516 × 131072)
    floor (72424.5)     		tx = 72424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735782623291016 × 217)
    floor (0.735782623291016 × 131072)
    floor (96440.5)     		ty = 96440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72424 / 96440 ti = "17/72424/96440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72424/96440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72424 ÷ 217
    72424 ÷ 131072     		x = 0.55255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96440 ÷ 217
    96440 ÷ 131072     		y = 0.73577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55255126953125 × 2 - 1) × π
    0.1051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.33018936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.4715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48144194585822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.33018936} λ = 0.33018936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48144194585822))-π/2
    2×atan(0.227309683701203)-π/2
    2×0.223511742139689-π/2
    0.447023484279378-1.57079632675     		φ = -1.12377284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.33018936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.918457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12377284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.387441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72424 KachelY 96440 0.33018936 -1.12377284 18.918457 -64.387441
    Oben rechts KachelX + 1 72425 KachelY 96440 0.33023730 -1.12377284 18.921204 -64.387441
    Unten links KachelX 72424 KachelY + 1 96441 0.33018936 -1.12379356 18.918457 -64.388628
    Unten rechts KachelX + 1 72425 KachelY + 1 96441 0.33023730 -1.12379356 18.921204 -64.388628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12377284--1.12379356) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dl = 132.007119999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12377284--1.12379356) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dr = 132.007119999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.33018936-0.33023730) × cos(-1.12377284) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432283418562553 × 6371000     		do = 132.030483004264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.33018936-0.33023730) × cos(-1.12379356) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432264734462705 × 6371000     		du = 132.024776399241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12377284)-sin(-1.12379356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432283418562553-0.432264734462705)×R²
    abs(0.33023730-0.33018936)×1.86840998483984e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86840998483984e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86840998483984e-05×40589641000000     		ar = 17428.5871578236m²