Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7242 / 5069
↖ ↑ ↗
← N 76.967768°
W100.437012°		 ← 275.48 m → N 76.967768°
W100.426026°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
N 76.965290°
W100.437012°		 ← 275.53 m →
75 914 m²		 N 76.965290°
W100.426026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221023559570312 y=0.154708862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221023559570312 × 215)
    floor (0.221023559570312 × 32768)
    floor (7242.5)     		tx = 7242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154708862304688 × 215)
    floor (0.154708862304688 × 32768)
    floor (5069.5)     		ty = 5069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7242 / 5069 ti = "15/7242/5069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7242/5069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7242 ÷ 215
    7242 ÷ 32768     		x = 0.22100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5069 ÷ 215
    5069 ÷ 32768     		y = 0.154693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.5579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75295655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154693603515625 × 2 - 1) × π
    0.69061279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16962407680374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75295655} λ = -1.75295655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16962407680374))-π/2
    2×atan(8.75499221738564)-π/2
    2×1.4570686472248-π/2
    2.91413729444959-1.57079632675     		φ = 1.34334097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75295655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.437012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34334097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.967768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7242 KachelY 5069 -1.75295655 1.34334097 -100.437012 76.967768
    Oben rechts KachelX + 1 7243 KachelY 5069 -1.75276480 1.34334097 -100.426026 76.967768
    Unten links KachelX 7242 KachelY + 1 5070 -1.75295655 1.34329772 -100.437012 76.965290
    Unten rechts KachelX + 1 7243 KachelY + 1 5070 -1.75276480 1.34329772 -100.426026 76.965290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34334097-1.34329772) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dl = 275.54575000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34334097-1.34329772) × R
    4.32500000000502e-05 × 6371000     		dr = 275.54575000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75295655--1.75276480) × cos(1.34334097) × R
    0.000191749999999935 × 0.225499154532303 × 6371000     		do = 275.478618018383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75295655--1.75276480) × cos(1.34329772) × R
    0.000191749999999935 × 0.225541290346856 × 6371000     		du = 275.530092783272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34334097)-sin(1.34329772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225499154532303-0.225541290346856)×R²
    abs(-1.75276480--1.75295655)×4.21358145527573e-05×R²
    0.000191749999999935×4.21358145527573e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.21358145527573e-05×40589641000000     		ar = 75914.05424859m²