Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72418 / 78696
↖ ↑ ↗
← S 33.961586°
E 18.901977°		 ← 253.32 m → S 33.961586°
E 18.904724°		 →
↑
253.31 m
↓
↑
253.31 m
↓
S 33.963864°
E 18.901977°		 ← 253.32 m →
64 169 m²		 S 33.963864°
E 18.904724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552509307861328 y=0.600406646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552509307861328 × 217)
    floor (0.552509307861328 × 131072)
    floor (72418.5)     		tx = 72418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600406646728516 × 217)
    floor (0.600406646728516 × 131072)
    floor (78696.5)     		ty = 78696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72418 / 78696 ti = "17/72418/78696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72418/78696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72418 ÷ 217
    72418 ÷ 131072     		x = 0.552505493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78696 ÷ 217
    78696 ÷ 131072     		y = 0.60040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552505493164062 × 2 - 1) × π
    0.105010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.32990174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60040283203125 × 2 - 1) × π
    -0.2008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.630849598999939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32990174} λ = 0.32990174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630849598999939))-π/2
    2×atan(0.532139503708259)-π/2
    2×0.489027413426346-π/2
    0.978054826852693-1.57079632675     		φ = -0.59274150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32990174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.901977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59274150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.961586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72418 KachelY 78696 0.32990174 -0.59274150 18.901977 -33.961586
    Oben rechts KachelX + 1 72419 KachelY 78696 0.32994968 -0.59274150 18.904724 -33.961586
    Unten links KachelX 72418 KachelY + 1 78697 0.32990174 -0.59278126 18.901977 -33.963864
    Unten rechts KachelX + 1 72419 KachelY + 1 78697 0.32994968 -0.59278126 18.904724 -33.963864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59274150--0.59278126) × R
    3.97599999999443e-05 × 6371000     		dl = 253.310959999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59274150--0.59278126) × R
    3.97599999999443e-05 × 6371000     		dr = 253.310959999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32990174-0.32994968) × cos(-0.59274150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.829412294667183 × 6371000     		do = 253.32386386395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32990174-0.32994968) × cos(-0.59278126) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.829390082606339 × 6371000     		du = 253.317079728829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59274150)-sin(-0.59278126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829412294667183-0.829390082606339)×R²
    abs(0.32994968-0.32990174)×2.22120608438514e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22120608438514e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22120608438514e-05×40589641000000     		ar = 64168.851906724m²