Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72416 / 78818
↖ ↑ ↗
← S 34.239054°
E 18.896484°		 ← 252.49 m → S 34.239054°
E 18.899231°		 →
↑
252.48 m
↓
↑
252.48 m
↓
S 34.241324°
E 18.896484°		 ← 252.49 m →
63 750 m²		 S 34.241324°
E 18.899231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552494049072266 y=0.601337432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552494049072266 × 217)
    floor (0.552494049072266 × 131072)
    floor (72416.5)     		tx = 72416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601337432861328 × 217)
    floor (0.601337432861328 × 131072)
    floor (78818.5)     		ty = 78818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72416 / 78818 ti = "17/72416/78818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72416/78818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72416 ÷ 217
    72416 ÷ 131072     		x = 0.552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78818 ÷ 217
    78818 ÷ 131072     		y = 0.601333618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552490234375 × 2 - 1) × π
    0.10498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.32980587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601333618164062 × 2 - 1) × π
    -0.202667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.636697900753586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32980587} λ = 0.32980587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.636697900753586))-π/2
    2×atan(0.52903647388722)-π/2
    2×0.486606053763643-π/2
    0.973212107527287-1.57079632675     		φ = -0.59758422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32980587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.896484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59758422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.239054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72416 KachelY 78818 0.32980587 -0.59758422 18.896484 -34.239054
    Oben rechts KachelX + 1 72417 KachelY 78818 0.32985381 -0.59758422 18.899231 -34.239054
    Unten links KachelX 72416 KachelY + 1 78819 0.32980587 -0.59762385 18.896484 -34.241324
    Unten rechts KachelX + 1 72417 KachelY + 1 78819 0.32985381 -0.59762385 18.899231 -34.241324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59758422--0.59762385) × R
    3.96299999999572e-05 × 6371000     		dl = 252.482729999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59758422--0.59762385) × R
    3.96299999999572e-05 × 6371000     		dr = 252.482729999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32980587-0.32985381) × cos(-0.59758422) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.826697257252023 × 6371000     		do = 252.494621552296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32980587-0.32985381) × cos(-0.59762385) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.826674958902301 × 6371000     		du = 252.487811062332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59758422)-sin(-0.59762385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826697257252023-0.826674958902301)×R²
    abs(0.32985381-0.32980587)×2.22983497215612e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22983497215612e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22983497215612e-05×40589641000000     		ar = 63749.6716026387m²