Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72413 / 78815
↖ ↑ ↗
← S 34.232242°
E 18.888245°		 ← 252.52 m → S 34.232242°
E 18.890991°		 →
↑
252.48 m
↓
↑
252.48 m
↓
S 34.234512°
E 18.888245°		 ← 252.51 m →
63 755 m²		 S 34.234512°
E 18.890991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552471160888672 y=0.601314544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552471160888672 × 217)
    floor (0.552471160888672 × 131072)
    floor (72413.5)     		tx = 72413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601314544677734 × 217)
    floor (0.601314544677734 × 131072)
    floor (78815.5)     		ty = 78815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72413 / 78815 ti = "17/72413/78815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72413/78815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72413 ÷ 217
    72413 ÷ 131072     		x = 0.552467346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78815 ÷ 217
    78815 ÷ 131072     		y = 0.601310729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552467346191406 × 2 - 1) × π
    0.104934692382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.32966206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601310729980469 × 2 - 1) × π
    -0.202621459960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.636554090054726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32966206} λ = 0.32966206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.636554090054726))-π/2
    2×atan(0.529112560463153)-π/2
    2×0.486665500123697-π/2
    0.973331000247394-1.57079632675     		φ = -0.59746533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32966206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.888245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59746533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.232242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72413 KachelY 78815 0.32966206 -0.59746533 18.888245 -34.232242
    Oben rechts KachelX + 1 72414 KachelY 78815 0.32971000 -0.59746533 18.890991 -34.232242
    Unten links KachelX 72413 KachelY + 1 78816 0.32966206 -0.59750496 18.888245 -34.234512
    Unten rechts KachelX + 1 72414 KachelY + 1 78816 0.32971000 -0.59750496 18.890991 -34.234512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59746533--0.59750496) × R
    3.96299999999572e-05 × 6371000     		dl = 252.482729999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59746533--0.59750496) × R
    3.96299999999572e-05 × 6371000     		dr = 252.482729999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32966206-0.32971000) × cos(-0.59746533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.826764144510896 × 6371000     		do = 252.515050642834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32966206-0.32971000) × cos(-0.59750496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.826741850056355 × 6371000     		du = 252.508241342558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59746533)-sin(-0.59750496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826764144510896-0.826741850056355)×R²
    abs(0.32971000-0.32966206)×2.22944545408277e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22944545408277e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22944545408277e-05×40589641000000     		ar = 63754.8297453355m²