Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72412 / 96708
↖ ↑ ↗
← S 64.703800°
E 18.885498°		 ← 130.51 m → S 64.703800°
E 18.888245°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
S 64.704974°
E 18.885498°		 ← 130.50 m →
17 036 m²		 S 64.704974°
E 18.888245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552463531494141 y=0.737827301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552463531494141 × 217)
    floor (0.552463531494141 × 131072)
    floor (72412.5)     		tx = 72412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737827301025391 × 217)
    floor (0.737827301025391 × 131072)
    floor (96708.5)     		ty = 96708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72412 / 96708 ti = "17/72412/96708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72412/96708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72412 ÷ 217
    72412 ÷ 131072     		x = 0.552459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96708 ÷ 217
    96708 ÷ 131072     		y = 0.737823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552459716796875 × 2 - 1) × π
    0.10491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32961412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.47564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49428903495639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32961412} λ = 0.32961412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49428903495639))-π/2
    2×atan(0.224408094338627)-π/2
    2×0.220750986653255-π/2
    0.441501973306511-1.57079632675     		φ = -1.12929435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32961412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.885498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12929435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.703800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72412 KachelY 96708 0.32961412 -1.12929435 18.885498 -64.703800
    Oben rechts KachelX + 1 72413 KachelY 96708 0.32966206 -1.12929435 18.888245 -64.703800
    Unten links KachelX 72412 KachelY + 1 96709 0.32961412 -1.12931484 18.885498 -64.704974
    Unten rechts KachelX + 1 72413 KachelY + 1 96709 0.32966206 -1.12931484 18.888245 -64.704974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12929435--1.12931484) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12929435--1.12931484) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32961412-0.32966206) × cos(-1.12929435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42729790011273 × 6371000     		do = 130.507777342291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32961412-0.32966206) × cos(-1.12931484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427279374790861 × 6371000     		du = 130.502119232151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12929435)-sin(-1.12931484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42729790011273-0.427279374790861)×R²
    abs(0.32966206-0.32961412)×1.85253218688564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85253218688564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85253218688564e-05×40589641000000     		ar = 17036.3495539752m²