Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7241 / 6071
↖ ↑ ↗
← N 74.238862°
W100.447998°		 ← 331.81 m → N 74.238862°
W100.437012°		 →
↑
331.80 m
↓
↑
331.80 m
↓
N 74.235878°
W100.447998°		 ← 331.87 m →
110 106 m²		 N 74.235878°
W100.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220993041992188 y=0.185287475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220993041992188 × 215)
    floor (0.220993041992188 × 32768)
    floor (7241.5)     		tx = 7241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185287475585938 × 215)
    floor (0.185287475585938 × 32768)
    floor (6071.5)     		ty = 6071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7241 / 6071 ti = "15/7241/6071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7241/6071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7241 ÷ 215
    7241 ÷ 32768     		x = 0.220977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6071 ÷ 215
    6071 ÷ 32768     		y = 0.185272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.55804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75314829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185272216796875 × 2 - 1) × π
    0.62945556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.97749298312656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75314829} λ = -1.75314829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97749298312656))-π/2
    2×atan(7.2246080480822)-π/2
    2×1.43325445546061-π/2
    2.86650891092122-1.57079632675     		φ = 1.29571258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75314829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.447998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29571258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.238862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7241 KachelY 6071 -1.75314829 1.29571258 -100.447998 74.238862
    Oben rechts KachelX + 1 7242 KachelY 6071 -1.75295655 1.29571258 -100.437012 74.238862
    Unten links KachelX 7241 KachelY + 1 6072 -1.75314829 1.29566050 -100.447998 74.235878
    Unten rechts KachelX + 1 7242 KachelY + 1 6072 -1.75295655 1.29566050 -100.437012 74.235878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29571258-1.29566050) × R
    5.20799999998989e-05 × 6371000     		dl = 331.801679999356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29571258-1.29566050) × R
    5.20799999998989e-05 × 6371000     		dr = 331.801679999356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75314829--1.75295655) × cos(1.29571258) × R
    0.000191739999999996 × 0.271627536029397 × 6371000     		do = 331.813554003973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75314829--1.75295655) × cos(1.29566050) × R
    0.000191739999999996 × 0.271677657580759 × 6371000     		du = 331.874781265143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29571258)-sin(1.29566050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271627536029397-0.271677657580759)×R²
    abs(-1.75295655--1.75314829)×5.01215513617481e-05×R²
    0.000191739999999996×5.01215513617481e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.01215513617481e-05×40589641000000     		ar = 110106.452344458m²