Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72409 / 78817
↖ ↑ ↗
← S 34.236783°
E 18.877258°		 ← 252.50 m → S 34.236783°
E 18.880005°		 →
↑
252.48 m
↓
↑
252.48 m
↓
S 34.239054°
E 18.877258°		 ← 252.49 m →
63 751 m²		 S 34.239054°
E 18.880005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552440643310547 y=0.601329803466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552440643310547 × 217)
    floor (0.552440643310547 × 131072)
    floor (72409.5)     		tx = 72409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.601329803466797 × 217)
    floor (0.601329803466797 × 131072)
    floor (78817.5)     		ty = 78817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72409 / 78817 ti = "17/72409/78817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72409/78817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72409 ÷ 217
    72409 ÷ 131072     		x = 0.552436828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78817 ÷ 217
    78817 ÷ 131072     		y = 0.601325988769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552436828613281 × 2 - 1) × π
    0.104873657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.32947031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.601325988769531 × 2 - 1) × π
    -0.202651977539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.636649963853966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32947031} λ = 0.32947031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.636649963853966))-π/2
    2×atan(0.529061834863422)-π/2
    2×0.486625868682585-π/2
    0.97325173736517-1.57079632675     		φ = -0.59754459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32947031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.877258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59754459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.236783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72409 KachelY 78817 0.32947031 -0.59754459 18.877258 -34.236783
    Oben rechts KachelX + 1 72410 KachelY 78817 0.32951825 -0.59754459 18.880005 -34.236783
    Unten links KachelX 72409 KachelY + 1 78818 0.32947031 -0.59758422 18.877258 -34.239054
    Unten rechts KachelX + 1 72410 KachelY + 1 78818 0.32951825 -0.59758422 18.880005 -34.239054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59754459--0.59758422) × R
    3.96299999999572e-05 × 6371000     		dl = 252.482729999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59754459--0.59758422) × R
    3.96299999999572e-05 × 6371000     		dr = 252.482729999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32947031-0.32951825) × cos(-0.59754459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.826719554303386 × 6371000     		do = 252.501431645709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32947031-0.32951825) × cos(-0.59758422) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.826697257252023 × 6371000     		du = 252.494621552296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59754459)-sin(-0.59758422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826719554303386-0.826697257252023)×R²
    abs(0.32951825-0.32947031)×2.22970513629184e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22970513629184e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22970513629184e-05×40589641000000     		ar = 63751.3910835617m²