Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72409 / 78665
↖ ↑ ↗
← S 33.890938°
E 18.877258°		 ← 253.53 m → S 33.890938°
E 18.880005°		 →
↑
253.50 m
↓
↑
253.50 m
↓
S 33.893218°
E 18.877258°		 ← 253.53 m →
64 271 m²		 S 33.893218°
E 18.880005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552440643310547 y=0.600170135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552440643310547 × 217)
    floor (0.552440643310547 × 131072)
    floor (72409.5)     		tx = 72409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600170135498047 × 217)
    floor (0.600170135498047 × 131072)
    floor (78665.5)     		ty = 78665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72409 / 78665 ti = "17/72409/78665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72409/78665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72409 ÷ 217
    72409 ÷ 131072     		x = 0.552436828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78665 ÷ 217
    78665 ÷ 131072     		y = 0.600166320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552436828613281 × 2 - 1) × π
    0.104873657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.32947031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600166320800781 × 2 - 1) × π
    -0.200332641601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.629363555111717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32947031} λ = 0.32947031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.629363555111717))-π/2
    2×atan(0.532930874225452)-π/2
    2×0.489643940678315-π/2
    0.979287881356631-1.57079632675     		φ = -0.59150845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32947031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.877258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59150845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.890938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72409 KachelY 78665 0.32947031 -0.59150845 18.877258 -33.890938
    Oben rechts KachelX + 1 72410 KachelY 78665 0.32951825 -0.59150845 18.880005 -33.890938
    Unten links KachelX 72409 KachelY + 1 78666 0.32947031 -0.59154824 18.877258 -33.893218
    Unten rechts KachelX + 1 72410 KachelY + 1 78666 0.32951825 -0.59154824 18.880005 -33.893218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59150845--0.59154824) × R
    3.9789999999984e-05 × 6371000     		dl = 253.502089999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59150845--0.59154824) × R
    3.9789999999984e-05 × 6371000     		dr = 253.502089999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32947031-0.32951825) × cos(-0.59150845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830100491263499 × 6371000     		do = 253.534056818645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32947031-0.32951825) × cos(-0.59154824) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830078303152405 × 6371000     		du = 253.527279998395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59150845)-sin(-0.59154824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830100491263499-0.830078303152405)×R²
    abs(0.32951825-0.32947031)×2.21881110944455e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21881110944455e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21881110944455e-05×40589641000000     		ar = 64270.5543290788m²