Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72406 / 95703
↖ ↑ ↗
← S 63.498347°
E 18.869019°		 ← 136.29 m → S 63.498347°
E 18.871765°		 →
↑
136.28 m
↓
↑
136.28 m
↓
S 63.499573°
E 18.869019°		 ← 136.28 m →
18 572 m²		 S 63.499573°
E 18.871765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552417755126953 y=0.730159759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552417755126953 × 217)
    floor (0.552417755126953 × 131072)
    floor (72406.5)     		tx = 72406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730159759521484 × 217)
    floor (0.730159759521484 × 131072)
    floor (95703.5)     		ty = 95703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72406 / 95703 ti = "17/72406/95703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72406/95703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72406 ÷ 217
    72406 ÷ 131072     		x = 0.552413940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95703 ÷ 217
    95703 ÷ 131072     		y = 0.730155944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552413940429688 × 2 - 1) × π
    0.104827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32932650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730155944824219 × 2 - 1) × π
    -0.460311889648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44611245083823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32932650} λ = 0.32932650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44611245083823))-π/2
    2×atan(0.235483966454721)-π/2
    2×0.231270549106053-π/2
    0.462541098212106-1.57079632675     		φ = -1.10825523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32932650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.869019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10825523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.498347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72406 KachelY 95703 0.32932650 -1.10825523 18.869019 -63.498347
    Oben rechts KachelX + 1 72407 KachelY 95703 0.32937444 -1.10825523 18.871765 -63.498347
    Unten links KachelX 72406 KachelY + 1 95704 0.32932650 -1.10827662 18.869019 -63.499573
    Unten rechts KachelX + 1 72407 KachelY + 1 95704 0.32937444 -1.10827662 18.871765 -63.499573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10825523--1.10827662) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dl = 136.275690000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10825523--1.10827662) × R
    2.1390000000121e-05 × 6371000     		dr = 136.275690000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32932650-0.32937444) × cos(-1.10825523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446223627320516 × 6371000     		do = 136.288181579763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32932650-0.32937444) × cos(-1.10827662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.446204484847751 × 6371000     		du = 136.282334975854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10825523)-sin(-1.10827662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446223627320516-0.446204484847751)×R²
    abs(0.32937444-0.32932650)×1.91424727644107e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91424727644107e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91424727644107e-05×40589641000000     		ar = 18572.3676095078m²