Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7240 / 7158
↖ ↑ ↗
← N 70.649051°
W100.458984°		 ← 404.79 m → N 70.649051°
W100.447998°		 →
↑
404.81 m
↓
↑
404.81 m
↓
N 70.645410°
W100.458984°		 ← 404.87 m →
163 881 m²		 N 70.645410°
W100.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220962524414062 y=0.218460083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220962524414062 × 215)
    floor (0.220962524414062 × 32768)
    floor (7240.5)     		tx = 7240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218460083007812 × 215)
    floor (0.218460083007812 × 32768)
    floor (7158.5)     		ty = 7158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7240 / 7158 ti = "15/7240/7158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7240/7158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7240 ÷ 215
    7240 ÷ 32768     		x = 0.220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7158 ÷ 215
    7158 ÷ 32768     		y = 0.21844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21844482421875 × 2 - 1) × π
    0.5631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76906334357855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75334004} λ = -1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76906334357855))-π/2
    2×atan(5.86535696340236)-π/2
    2×1.40192743806307-π/2
    2.80385487612615-1.57079632675     		φ = 1.23305855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23305855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.649051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7240 KachelY 7158 -1.75334004 1.23305855 -100.458984 70.649051
    Oben rechts KachelX + 1 7241 KachelY 7158 -1.75314829 1.23305855 -100.447998 70.649051
    Unten links KachelX 7240 KachelY + 1 7159 -1.75334004 1.23299501 -100.458984 70.645410
    Unten rechts KachelX + 1 7241 KachelY + 1 7159 -1.75314829 1.23299501 -100.447998 70.645410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23305855-1.23299501) × R
    6.35399999999731e-05 × 6371000     		dl = 404.813339999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23305855-1.23299501) × R
    6.35399999999731e-05 × 6371000     		dr = 404.813339999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75334004--1.75314829) × cos(1.23305855) × R
    0.000191750000000157 × 0.331353519143441 × 6371000     		do = 404.794464611586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75334004--1.75314829) × cos(1.23299501) × R
    0.000191750000000157 × 0.331413468888624 × 6371000     		du = 404.867701573329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23305855)-sin(1.23299501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331353519143441-0.331413468888624)×R²
    abs(-1.75314829--1.75334004)×5.994974518303e-05×R²
    0.000191750000000157×5.994974518303e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.994974518303e-05×40589641000000     		ar = 163881.022938066m²