Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7240 / 5192
↖ ↑ ↗
← N 76.659520°
W100.458984°		 ← 281.88 m → N 76.659520°
W100.447998°		 →
↑
281.85 m
↓
↑
281.85 m
↓
N 76.656985°
W100.458984°		 ← 281.93 m →
79 455 m²		 N 76.656985°
W100.447998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220962524414062 y=0.158462524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220962524414062 × 215)
    floor (0.220962524414062 × 32768)
    floor (7240.5)     		tx = 7240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158462524414062 × 215)
    floor (0.158462524414062 × 32768)
    floor (5192.5)     		ty = 5192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7240 / 5192 ti = "15/7240/5192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7240/5192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7240 ÷ 215
    7240 ÷ 32768     		x = 0.220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5192 ÷ 215
    5192 ÷ 32768     		y = 0.158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.55810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75334004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158447265625 × 2 - 1) × π
    0.68310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14603912219067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75334004} λ = -1.75334004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14603912219067))-π/2
    2×atan(8.5509220752362)-π/2
    2×1.45437868030135-π/2
    2.9087573606027-1.57079632675     		φ = 1.33796103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75334004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33796103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.659520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7240 KachelY 5192 -1.75334004 1.33796103 -100.458984 76.659520
    Oben rechts KachelX + 1 7241 KachelY 5192 -1.75314829 1.33796103 -100.447998 76.659520
    Unten links KachelX 7240 KachelY + 1 5193 -1.75334004 1.33791679 -100.458984 76.656985
    Unten rechts KachelX + 1 7241 KachelY + 1 5193 -1.75314829 1.33791679 -100.447998 76.656985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33796103-1.33791679) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dl = 281.853040000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33796103-1.33791679) × R
    4.42400000000287e-05 × 6371000     		dr = 281.853040000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75334004--1.75314829) × cos(1.33796103) × R
    0.000191750000000157 × 0.230737236700956 × 6371000     		do = 281.877664790659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75334004--1.75314829) × cos(1.33791679) × R
    0.000191750000000157 × 0.230780282707335 × 6371000     		du = 281.930251481607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33796103)-sin(1.33791679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230737236700956-0.230780282707335)×R²
    abs(-1.75314829--1.75334004)×4.30460063789995e-05×R²
    0.000191750000000157×4.30460063789995e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.30460063789995e-05×40589641000000     		ar = 79455.4876018036m²