Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7240 / 10856
↖ ↑ ↗
← S 50.401515°
W 20.917969°		 ← 1 557.35 m → S 50.401515°
W 20.895996°		 →
↑
1 557.14 m
↓
↑
1 557.14 m
↓
S 50.415519°
W 20.917969°		 ← 1 556.89 m →
2 424 655 m²		 S 50.415519°
W 20.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441925048828125 y=0.662628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441925048828125 × 214)
    floor (0.441925048828125 × 16384)
    floor (7240.5)     		tx = 7240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662628173828125 × 214)
    floor (0.662628173828125 × 16384)
    floor (10856.5)     		ty = 10856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7240 / 10856 ti = "14/7240/10856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7240/10856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7240 ÷ 214
    7240 ÷ 16384     		x = 0.44189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10856 ÷ 214
    10856 ÷ 16384     		y = 0.66259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    -0.1162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36508743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66259765625 × 2 - 1) × π
    -0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36508743} λ = -0.36508743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02163120470264))-π/2
    2×atan(0.360007215490873)-π/2
    2×0.345561968218292-π/2
    0.691123936436584-1.57079632675     		φ = -0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36508743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7240 KachelY 10856 -0.36508743 -0.87967239 -20.917969 -50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 7241 KachelY 10856 -0.36470393 -0.87967239 -20.895996 -50.401515
    Unten links KachelX 7240 KachelY + 1 10857 -0.36508743 -0.87991680 -20.917969 -50.415519
    Unten rechts KachelX + 1 7241 KachelY + 1 10857 -0.36470393 -0.87991680 -20.895996 -50.415519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87967239--0.87991680) × R
    0.000244410000000084 × 6371000     		dl = 1557.13611000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87967239--0.87991680) × R
    0.000244410000000084 × 6371000     		dr = 1557.13611000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36508743--0.36470393) × cos(-0.87967239) × R
    0.000383499999999981 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 1557.35454045014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36508743--0.36470393) × cos(-0.87991680) × R
    0.000383499999999981 × 0.637215267467974 × 6371000     		du = 1556.89436287617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87967239)-sin(-0.87991680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637215267467974)×R²
    abs(-0.36470393--0.36508743)×0.000188344298027499×R²
    0.000383499999999981×0.000188344298027499×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188344298027499×40589641000000     		ar = 2424654.72352012m²