Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72391 / 75848
↖ ↑ ↗
← S 27.235094°
E 18.827820°		 ← 271.51 m → S 27.235094°
E 18.830566°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
S 27.237536°
E 18.827820°		 ← 271.50 m →
73 722 m²		 S 27.237536°
E 18.830566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552303314208984 y=0.578678131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552303314208984 × 217)
    floor (0.552303314208984 × 131072)
    floor (72391.5)     		tx = 72391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578678131103516 × 217)
    floor (0.578678131103516 × 131072)
    floor (75848.5)     		ty = 75848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72391 / 75848 ti = "17/72391/75848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72391/75848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72391 ÷ 217
    72391 ÷ 131072     		x = 0.552299499511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75848 ÷ 217
    75848 ÷ 131072     		y = 0.57867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552299499511719 × 2 - 1) × π
    0.104598999023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.32860745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.494325308882019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32860745} λ = 0.32860745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.494325308882019))-π/2
    2×atan(0.609982318145258)-π/2
    2×0.547727126904637-π/2
    1.09545425380927-1.57079632675     		φ = -0.47534207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32860745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.827820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47534207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.235094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72391 KachelY 75848 0.32860745 -0.47534207 18.827820 -27.235094
    Oben rechts KachelX + 1 72392 KachelY 75848 0.32865538 -0.47534207 18.830566 -27.235094
    Unten links KachelX 72391 KachelY + 1 75849 0.32860745 -0.47538469 18.827820 -27.237536
    Unten rechts KachelX + 1 72392 KachelY + 1 75849 0.32865538 -0.47538469 18.830566 -27.237536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47534207--0.47538469) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dl = 271.532019999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47534207--0.47538469) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dr = 271.532019999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32860745-0.32865538) × cos(-0.47534207) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.889136227834684 × 6371000     		do = 271.508443477993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32860745-0.32865538) × cos(-0.47538469) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.889116722298651 × 6371000     		du = 271.502487227914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47534207)-sin(-0.47538469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889136227834684-0.889116722298651)×R²
    abs(0.32865538-0.32860745)×1.95055360338037e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.95055360338037e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.95055360338037e-05×40589641000000     		ar = 73722.4274594624m²