Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72390 / 78915
↖ ↑ ↗
← S 34.459013°
E 18.825073°		 ← 251.83 m → S 34.459013°
E 18.827820°		 →
↑
251.78 m
↓
↑
251.78 m
↓
S 34.461277°
E 18.825073°		 ← 251.83 m →
63 406 m²		 S 34.461277°
E 18.827820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.552295684814453 y=0.602077484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.552295684814453 × 217)
    floor (0.552295684814453 × 131072)
    floor (72390.5)     		tx = 72390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602077484130859 × 217)
    floor (0.602077484130859 × 131072)
    floor (78915.5)     		ty = 78915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72390 / 78915 ti = "17/72390/78915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72390/78915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72390 ÷ 217
    72390 ÷ 131072     		x = 0.552291870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78915 ÷ 217
    78915 ÷ 131072     		y = 0.602073669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.552291870117188 × 2 - 1) × π
    0.104583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.32855951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602073669433594 × 2 - 1) × π
    -0.204147338867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.641347780016731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32855951} λ = 0.32855951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641347780016731))-π/2
    2×atan(0.526582228552101)-π/2
    2×0.484686549307827-π/2
    0.969373098615654-1.57079632675     		φ = -0.60142323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32855951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.825073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60142323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.459013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72390 KachelY 78915 0.32855951 -0.60142323 18.825073 -34.459013
    Oben rechts KachelX + 1 72391 KachelY 78915 0.32860745 -0.60142323 18.827820 -34.459013
    Unten links KachelX 72390 KachelY + 1 78916 0.32855951 -0.60146275 18.825073 -34.461277
    Unten rechts KachelX + 1 72391 KachelY + 1 78916 0.32860745 -0.60146275 18.827820 -34.461277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60142323--0.60146275) × R
    3.95200000000706e-05 × 6371000     		dl = 251.78192000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60142323--0.60146275) × R
    3.95200000000706e-05 × 6371000     		dr = 251.78192000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32855951-0.32860745) × cos(-0.60142323) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824531163180551 × 6371000     		do = 251.833040667607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32855951-0.32860745) × cos(-0.60146275) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824508801466868 × 6371000     		du = 251.826210824658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60142323)-sin(-0.60146275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824531163180551-0.824508801466868)×R²
    abs(0.32860745-0.32855951)×2.23617136838605e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23617136838605e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23617136838605e-05×40589641000000     		ar = 63406.1466915685m²