Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7239 / 7157
↖ ↑ ↗
← N 70.652691°
W100.469971°		 ← 404.72 m → N 70.652691°
W100.458984°		 →
↑
404.75 m
↓
↑
404.75 m
↓
N 70.649051°
W100.469971°		 ← 404.79 m →
163 826 m²		 N 70.649051°
W100.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220932006835938 y=0.218429565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220932006835938 × 215)
    floor (0.220932006835938 × 32768)
    floor (7239.5)     		tx = 7239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218429565429688 × 215)
    floor (0.218429565429688 × 32768)
    floor (7157.5)     		ty = 7157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7239 / 7157 ti = "15/7239/7157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7239/7157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7239 ÷ 215
    7239 ÷ 32768     		x = 0.220916748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7157 ÷ 215
    7157 ÷ 32768     		y = 0.218414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220916748046875 × 2 - 1) × π
    -0.55816650390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75353179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218414306640625 × 2 - 1) × π
    0.56317138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76925509117703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75353179} λ = -1.75353179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76925509117703))-π/2
    2×atan(5.86648173934742)-π/2
    2×1.40195920331039-π/2
    2.80391840662078-1.57079632675     		φ = 1.23312208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75353179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.469971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23312208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.652691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7239 KachelY 7157 -1.75353179 1.23312208 -100.469971 70.652691
    Oben rechts KachelX + 1 7240 KachelY 7157 -1.75334004 1.23312208 -100.458984 70.652691
    Unten links KachelX 7239 KachelY + 1 7158 -1.75353179 1.23305855 -100.469971 70.649051
    Unten rechts KachelX + 1 7240 KachelY + 1 7158 -1.75334004 1.23305855 -100.458984 70.649051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23312208-1.23305855) × R
    6.35300000000338e-05 × 6371000     		dl = 404.749630000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23312208-1.23305855) × R
    6.35300000000338e-05 × 6371000     		dr = 404.749630000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75353179--1.75334004) × cos(1.23312208) × R
    0.000191749999999935 × 0.331293577495752 × 6371000     		do = 404.72123754159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75353179--1.75334004) × cos(1.23305855) × R
    0.000191749999999935 × 0.331353519143441 × 6371000     		du = 404.794464611117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23312208)-sin(1.23305855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331293577495752-0.331353519143441)×R²
    abs(-1.75334004--1.75353179)×5.9941647689854e-05×R²
    0.000191749999999935×5.9941647689854e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.9941647689854e-05×40589641000000     		ar = 163825.590517249m²